Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+b（b＜0）與坐標軸交于A，B兩點，與雙曲線y=（x＞0）交于D點，過點D作DC⊥x軸，垂足為C，連接OD．已知△AOB∽△ACD，相似比為．

（1）如果b=﹣2，求k的值；

（2）試探究k與b的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出直線OD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）k=12；（2）k=3b2．直線OD的解析式為：y=x．

【解析】

試題分析：（1）首先求出直線y=2x﹣2與坐標軸交點的坐標，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐標，由點D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上求出k的值；

（2）首先直線y=2x+b與坐標軸交點的坐標為A（﹣，0），B（0，b），再根據(jù)△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標，把D點坐標代入反比例函數(shù)解析式求出k和b之間的關(guān)系，進而也可以求出直線OD的解析式．

解：（1）當b=﹣2時，直線y=2x﹣2與坐標軸交點的坐標為A（1，0），B（0，﹣2）．

∵△AOB∽△ACD，

∴CD=2OB，AO=2AC，

∴點D的坐標為（3，4）．

∵點D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上，

∴k=3×4=12．

（2）直線y=2x+b與坐標軸交點的坐標為A（﹣，0），B（0，b）．

∵△AOB∽△ACD，

∴CD=2OB，AC=2AO，

∴點D的坐標為（b，2b）

∵點D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上，

∴k=（）（2b）=3b2，即k與b的數(shù)量關(guān)系為：k=3b2．

直線OD的解析式為：y=x．