Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)．有下列結(jié)論：①∠AMD＝90°；②M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD＝AD；④S△ADM＝S梯形ABCD；⑤M到AD的距離等于BC的一半．其中正確的結(jié)論有____

Answer 1

【答案】①②③⑤．

【解析】

作MN⊥AD于N，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得MB=MN，MN=MC，則根據(jù)“HL”可證明Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，則∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定義可得∠AMD=90°，則可對①進(jìn)行判斷；同時(shí)利用MB=MN=MC可對②⑤進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，利用Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA得到CD=ND，AB=AN，則可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形性質(zhì)得S△MCD=S△MND，S△MBA=S△MNA，所以S△ADM=S梯形ABCD，則可對④進(jìn)行判斷．

過點(diǎn)M作MN⊥AD交AD于N，如圖，

∵AM和DM分別為∠DAB與∠ADC的平分線，

且MN⊥AD，MC⊥CD，MB⊥AB，

∴MB＝MN，MN＝MC，∴MB＝MN＝MC，

∴MB＝MC，所以②⑤正確；

在Rt△MCD和Rt△MND中

，

∴Rt△MCD≌Rt△MND，

∴∠1＝∠2，

同理可得Rt△MBA≌Rt△MNA，

∴∠3＝∠4，

∴∠2+∠4＝∠CMN+∠BMN＝90°，

即∠AMD＝90°，所以①正確；

∵Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，

∴CD＝ND，AB＝AN，

∴AD＝AN+ND＝AB+CD，所以③正確；

∵Rt△MCD≌Rt△MND，Rt△MBA≌Rt△MNA，

∴S△MCD＝S△MND，S△MBA＝S△MNA，

∴S△ADM＝S梯形ABCD，所以④錯(cuò)誤．

故答案為①②③⑤．