【題目】如圖1,矩形ABCD中,AD2,AB3,點(diǎn)EF分別在邊AB,BC上,且BFFC,連接DE,EF,并以DE,EF為邊作DEFG

1)連接DF,求DF的長(zhǎng)度;

2)求DEFG周長(zhǎng)的最小值;

3)當(dāng)DEFG為正方形時(shí)(如圖2),連接BG,分別交EF,CD于點(diǎn)P、Q,求BPQG的值.

【答案】1;(26;(3

【解析】

1)平行四邊形DEFG對(duì)角線DF的長(zhǎng)就是Rt△DCF的斜邊的長(zhǎng),由勾股定理求解;

2)平行四邊形DEFG周長(zhǎng)的最小值就是求鄰邊2DE+EF)最小值,DE+EF的最小值就是以AB為對(duì)稱軸,作點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)M,連接DMAB于點(diǎn)N,點(diǎn)EN點(diǎn)重合時(shí)即DE+EFDM時(shí)有最小值,在Rt△DMC中由勾股定理求DM的長(zhǎng);

3)平行四邊形DEFG為矩形時(shí)有兩種情況,一是一般矩形,二是正方形,分類用全等三角形判定與性質(zhì),等腰直角三角形判定與性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì)和勾股定理求解.

解:(1)如圖1所示:

∵四邊形ABCD是矩形,

C90°,ADBC,ABDC,

BFFC,AD2

FC1,

AB3

DC3,

RtDCF中,由勾股定理得,

DF;

2)如圖2所示:

作點(diǎn)F關(guān)直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M,連接DMAB于點(diǎn)N

連接NF,ME,點(diǎn)EAB上是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

①當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)N重合時(shí)點(diǎn)ME、D可構(gòu)成一個(gè)三角形,

ME+DEMD,

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)點(diǎn)M、EN)、D在同一條直線上,

ME+DEMD

由①和②DE+EF的值最小時(shí)就是點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí),

MBBF,

MB1

MC3,

又∵DC3,

∴△MCD是等腰直角三角形,

MD3,

NF+DNMD3,

l平行四邊形DEFG2NF+DF)=6;

3)設(shè)AEx,則BE3x,

∵平行四邊形DEFG為矩形,∴∠DEF90°,

∵∠AED+BEF90°,∠BEF+BFE90°,

∴∠AED=∠BFE

又∵∠A=∠EBF90°,

∴△DAE∽△EBF,

,

,

解得:x1,或x2

①當(dāng)AE1,BE2時(shí),過(guò)點(diǎn)BBHEF,

如圖3(甲)所示:

∵平行四邊形DEFG為矩形,

∴∠A=∠ABF90°,

又∵BF1AD2,

∴在△ADE和△BEF中,,

∴△ADE≌△BEF中(SAS),

DEEF,

∴矩形DEFG是正方形;

RtEBF中,由勾股定理得:

EF

BH,

又∵△BEF~△BF

,

HF,

在△BPH和△GPF中有:∠BPH=∠GPF,∠BHP=∠GFP

∴△BPH∽△GPF,

,

PFHF

又∵EP+PFEF,

EP,

又∵ABBC,EFDG,

∴∠EBP=∠DQG,∠EPB=∠DGQ,

∴△EBP∽△DQGAA),

②當(dāng)AE2,BE1時(shí),過(guò)點(diǎn)GGHDC,

如圖3(乙)所示:

DEFG為矩形,

∴∠A=∠EBF90°,

ADAE2BEBF1,

∴在RtADERtEFB中,由勾股定理得:

ED2,

EF,

∴∠ADE45°,

又∵四邊形DEFG是矩形,

EFDG,∠EDG90°,

DG,∠HDG45°

∴△DHG是等腰直角三角形,

DHHG1,

在△HGQ和△BCQ中有,∠GHQ=∠BCQ,∠HQG=∠CQB,

∴△HGQ∽△BCQ,

HCHQ+CQ2,

HQ,

又∵DQDH+HQ,

DQ1+

ABDC,EFDG

∴∠EBP=∠DQG,∠EPB=∠DGQ,

∴△EBP∽△DQGAA),

,

綜合所述,BPQG的值為

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1)求拋物線的解析式;

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1)用含t的代數(shù)式分別表示點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo);

2)若△ODE與以點(diǎn)AE,F為頂點(diǎn)的三角形相似,求t的值;

3)當(dāng)t2時(shí),求O′點(diǎn)在坐標(biāo).

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(1)小紅摸出標(biāo)有數(shù)3的小球的概率是多少?.

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2)若擺動(dòng)臂順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)的位置由外的點(diǎn)轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)處,連結(jié),如圖2,此時(shí),,求的長(zhǎng).

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