Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12 cm，AD＝8 cm，BC＝22 cm，AB為⊙O的直徑，動點P從點A開始沿AD邊向點D以1 cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以2 cm/s的速度運動，P，Q分別從點A，C同時出發(fā)．當(dāng)其中一動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t s．當(dāng)t為何值時，PQ與⊙O相切？

Answer 1

【答案】當(dāng)t＝2s 時，PQ與⊙O相切．

【解析】

當(dāng)PQ是圓的切線時，利用切線的性質(zhì)把AP，PH，CQ，BQ分別用t表示，然后利用勾股定理就可以求出t．

設(shè)PQ與⊙O相切于點H過點P作PE⊥BC，垂足為E．

∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PE=AB．

∵AP=BE=t，CQ=2t，∴BQ=BC﹣CQ=22﹣2t，EQ=BQ﹣BE=22﹣2t﹣t=22﹣3t；

∵AB為⊙O的直徑，∠ABC=∠DAB=90°，∴AD、BC為⊙O的切線，∴AP=PH，HQ=BQ，∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22﹣2t=22﹣t；

在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，∴122+（22﹣3t）2=（22﹣t）2，即：8t2﹣88t+144=0，∴t2﹣11t+18=0，（t﹣2）（t﹣9）=0，∴t1=2，t2=9；

∵P在AD邊運動的時間為秒．

∵t=9＞8，∴t=9（舍去），∴當(dāng)t=2秒時，PQ與⊙O相切．