Question

（2011•新華區(qū)一模）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)P，連接BD交FP于點(diǎn)O，連接OE．
（1）底邊AB=

6

；
（2）設(shè)△BOE的面積為S_△BOE；
①求S_△BOE與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，S_△BOE=

1

6

S_梯形ABCD．
（3）是否存在點(diǎn)E，使得△BOE為直角三角形；若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）是否存在某一時(shí)刻，使得OE∥BC？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，利用已知條件和勾股定理即可求出AB的值；
（2）①經(jīng)過t秒時(shí)，AE=2t，CF=t，則BE=6-2t，DF=3-t，證明△ODF∽△DBA，利用相似的性質(zhì)可求出OF的長，進(jìn)而求出OP的長，再利用三角形面積公式即可求出△BOE的面積；②利用已知條件求出梯形ABCD的面積，有①可得關(guān)于t的一元二次方程，求出符合題意的t值即可；
（3）設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，△BOE為直角三角形，在分當(dāng)∠BOE=90°和∠OEB=90°時(shí)討論求出符合題意的t值即可；
（4）當(dāng)OE∥BC時(shí)易證△EOB∽△CBD和△OBP∽△DBA，利用相似的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出符合題意的t值．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∵∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，
∴CH=4，CD=AH=3，
∴BH=

5 2-42

=3，
∴AB=3+3=6，
故答案為6；

（2）①經(jīng)過t秒時(shí)，AE=2t，CF=t，則BE=6-2t，DF=3-t，
∵AB∥DC，
∴∠ODF=∠DBA，
∵FP⊥AB，
∴FP⊥CD，
∴∠DFO=∠A=90°，
∴△ODF∽△DBA，
∴

OF

DA

=

DF

AB

．
即

OF

4

=

3-t

6

，OF=2-

2

3

t．
∴OP=FP-OF=4-（2-

2

3

t）=2+

2

3

t，
∴S_△BOE=

1

2

BE•OP=

1

2

（6-2t）（2+

2

3

t）=-

2

3

t²+6；
②∵S_梯形ABCD=

1

2

（CD+AB）•AD=

1

2

（3+6）×4=18．
  S_△BOE=

1

6

S_梯形ABCD，即-

2

3

t²+6=

1

6

×18，
解得t=

3 2

2

或t=

3

2

；

（3）存在．
設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，△BOE為直角三角形．
①若∠BOE=90°，則AE＜AP，
∵AP=DF，
∴2t＜3-t．解得t＜1，
∴EP=AP-AE=3-t-2t=3-3t，BP=AB-AP=6-（3-t）=3+t．
∵∠EOP+∠BOP=90°，∠OBP+∠BOP=90°，
∴∠EOP=∠OBP，
∵∠OPE=∠BPO=90°，
∴△EOP∽△OBP，
∴

OP

BP

=

EP

OP

，OP²=BP•EP．
∴（2+

2

3

t）²=（3+t）（3-3t），
解得t=

15

31

；
②若∠OEB=90°，此時(shí)OE與OP重合，
∴AE=AP=DF，
∴2t=3-t，
∴t=1；

（4）存在，t=

9

5

．
當(dāng)OE∥BC時(shí)，易證△EOB∽△CBD，
∴

BE

CD

=

OB

BD

，
易證△OBP∽△DBA，
∴

OB

BD

=

OP

DA

，
∴

BE

CD

=

OP

DA

，

6-2t

3

=

2+ 2 3 t

4

，
解得t=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、三角形的面積公式以及梯形的面積公式、相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)、以及分類討論思想在解幾何圖形中的應(yīng)用，題目綜合性很強(qiáng)難度不�。�