Question

（2011•新華區(qū)一模）我們知道：根據(jù)二次函數(shù)的圖象，可以直接確定二次函數(shù)的最大（�。┲�；根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，并運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，可以在一條直線上找到一點(diǎn)，使得此點(diǎn)到這條直線同側(cè)兩定點(diǎn)之間的距離之和最短．
這種數(shù)形結(jié)合的思想方法，非常有利于解決一些數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的最大（小）值問題．請你嘗試解決一下問題：
（1）在圖1中，拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是

4

；
（2）在圖2中，相距3km的A、B兩鎮(zhèn)位于河岸（近似看做直線l）的同側(cè)，且到河岸的距離AC=1千米，BD=2千米，現(xiàn)要在岸邊建一座水塔，分別直接給兩鎮(zhèn)送水，為使所用水管的長度最短，請你：
①作圖確定水塔的位置；
②求出所需水管的長度（結(jié)果用準(zhǔn)確值表示）
（3）已知x+y=6，求

x2+9

+

y2+25

的最小值；
此問題可以通過數(shù)形結(jié)合的方法加以解決，具體步驟如下：
①如圖3中，作線段AB=6，分別過點(diǎn)A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=

3

，DB=

5

；
②在AB上取一點(diǎn)P，可設(shè)AP=

x

，BP=

y

；
③

x2+9

+

y2+25

的最小值即為線段

PC

和線段

PD

長度之和的最小值，最小值為

10

．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出函數(shù)的最值；
（2）①延長AC到點(diǎn)E，使CE=AC，連接BE，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，
②過點(diǎn)A作AF⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)E作EG⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)G，則有四邊形ACDF、CEGD都是矩形，進(jìn)而利用勾股定理求出即可；
（3）①作線段AB=6，分別過點(diǎn)A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，
②在AB上取一點(diǎn)P，可設(shè)AP=x，BP=y，
③

x2+9

+

y2+25

的最小值即為線段 PC和線段 PD長度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是4； 

（2）①如圖，點(diǎn)P即為所求．
（作法：延長AC到點(diǎn)E，使CE=AC，連接BE，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求）
說明：不必寫作法和證明，但要保留作圖痕跡；不連接PA不扣分；
如延長BD到點(diǎn)M，使DM=BD，連接AM，同樣可得到P點(diǎn)．
②過點(diǎn)A作AF⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)E作EG⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)G，則有四邊形ACDF、CEGD都是矩形．
∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．
∵AB=3，BD=2，
∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，
∴在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²=8，
∴AF=2

2

，EG=2

2

．
∴在Rt△BEG中，BE²=EG²+BG²=17，BE=

17

．
∴PA+PB的最小值為

17

．
即所用水管的最短長度為

17

．   

（3））①作線段AB=6，分別過點(diǎn)A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，
②在AB上取一點(diǎn)P，可設(shè)AP=x，BP=y，
③

x2+9

+

y2+25

的最小值即為線段 PC和線段 PD長度之和的最小值，
∴作C點(diǎn)對稱點(diǎn)C′，連接C′D，過C′點(diǎn)作C′E⊥DB，交于點(diǎn)E，
∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，
∴DE=8，
C′D=

DE2+C′E2

=10，
∴最小值為10．
故答案為：①3，5；②x，y；③PC，PD，10．

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)最值問題與利用軸對稱求最短路線問題，結(jié)合已知畫出圖象利用數(shù)形結(jié)合以及勾股定理得出是解題關(guān)鍵．