Question

（2011•新華區(qū)一模）在矩形ABCD中，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)B、C重合），以AE為邊，在直線BC的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上，連接AC、FC，并過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
（1）如圖1，當(dāng)AB=BC時(shí)；
①求證：矩形AEFG是正方形；
②猜想AC、FC的位置關(guān)系，并證明你的猜想．
（2）如圖2，當(dāng)AB≠BC時(shí)，上面的猜想還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若成立，請(qǐng)給出證明．

Answer 1

分析：（1）①由已知條件可先判定四邊形AEFG為矩形，再根據(jù)鄰邊相等（AB=BC）的矩形為正方形即可判定四邊形AEFG為正方形；
②由①可知AE=EF，∠AEF=90°，再由已知條件判定△AEB≌△EFH，進(jìn)而證明∠ACF=90°，即AC⊥FC；
（2）當(dāng)AB≠BC時(shí)，AC⊥FC仍然成立，首先判定△AEB∽△EFH，再判定△CHF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等即可證明AC⊥FC．

解答：解：（1）①證明：當(dāng)AB=BC時(shí)，矩形ABCD是正方形．
∴AB=AD時(shí)，∠ABE=∠ADG=90°．
∵∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE≌△ADG． 已知條件
∴AE=AG．
∴矩形AEFG是正方形．
②猜想：AC⊥FC． 
證明：∵矩形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°．
又∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠FEH．
∵∠ABE=∠EHF=90°，
∴△AEB≌△EFH．
∴BE=HF，AB=EH．
∴BC=EH，∴BE=CH，
∴HF=CH．∴∠FCH=45°．
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ACB=45°．
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥FC．

（2）當(dāng)AB≠BC時(shí)，AC⊥FC仍然成立． 
證明：由（1）可知：∠EAB=∠FEH，∠ABE=∠EHF，
∴△AEB∽△EFH，
∴

BE

HF

=

AB

EH

．
易證△AGD≌△EFH．
∴AD=EH，DG=HF．
∵AD=BC，
∴BC=EH，
∴BE=CH．
∴

CH

HF

=

AB

BC

，
即

CH

AB

=

HF

BC

．
∵∠CHF=∠ABC=90°，
∴△CHF∽△ABC，
∴∠HCF=∠BAC．  
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠HCF+∠ACB=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥FC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定方法、正方形的判定方法以及相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，題目綜合性很強(qiáng)，難度不小．