【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,BC=12cm,AD=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā),以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,分別交AB,AC,AD于E,F(xiàn),H,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)連接DE、DF,當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AEDF為菱形?
(2)連接PE、PF,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△PEF的面積是否存在最大值?若存在,試求當(dāng)△PEF的面積最大時(shí),線段BP的長(zhǎng).
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)F在線段EP的中垂線上?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)當(dāng)t=2s時(shí),四邊形AEDF為菱形;(2)BP=6cm;(3)存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)F在線段EP的中垂線上,t=.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)四邊形AEDF為菱形,則EF垂直平分AD,此時(shí),DH= AD=4cm,再根據(jù)直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,即可求得t==2(s);(2)先根據(jù)EF∥BC,得到△AEF∽△ABC,進(jìn)而得出 ,據(jù)此求得EF=12﹣3t,再根據(jù)S△PEF=EFDH=(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0<t≤4),求得當(dāng)t=2秒時(shí),S△PEF存在最大值,最大值為12cm2,最后計(jì)算線段BP的長(zhǎng);(3)若點(diǎn)F在線段EP的中垂線上,則FE=FP,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G,則FG=HD=2t,F(xiàn)G∥AD,根據(jù)△FCG∽△ACD,得到,進(jìn)而得到CG=t,PG=12﹣3t﹣t,最后在Rt△PFG中,根據(jù)勾股定理列出方程(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,即可求得t的值.
試題解析:(1)如圖1,若四邊形AEDF為菱形,則EF垂直平分AD,
此時(shí),DH=AD=4cm,
又∵直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,
∴t==2(s),
此時(shí),EF垂直平分AD,
∴AE=DE,AF=DF.
∵AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,
∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∴EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=AF=DE=DF,
即四邊形AEDF為菱形,
故當(dāng)t=2s時(shí),四邊形AEDF為菱形;
(2)如圖2,∵直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,AD=8cm,
∴DH=2t,AH=8﹣2t,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴,即.
解得EF=12﹣3t,
∴S△PEF=EFDH=(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0<t≤4),
∴當(dāng)t=2秒時(shí),S△PEF存在最大值,最大值為12cm2,
此時(shí)BP=3t=6cm;
(3)存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)F在線段EP的中垂線上.
∵AB=AC,AD⊥BC,BC=12cm,AD=8cm,
∴AB=AC=10cm,
若點(diǎn)F在線段EP的中垂線上,則FE=FP,
由(2)可得,EF=12﹣3t=PF,
如圖3,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G,則FG=HD=2t,F(xiàn)G∥AD,
∴△FCG∽△ACD,
∴,即,
∴CG=t,
又∵BP=3t,BC=12cm,
∴PG=12﹣3t﹣t,
∴Rt△PFG中,(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,
解得t1=或t2=0(舍去),
∴當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)F在線段EP的中垂線上.
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