Question

【題目】已知點A（﹣1，2）、B（3，6）在拋物線y=ax2+bx上

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，點F的坐標(biāo)為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點G，過點G作x軸的垂線，垂足為H．設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；

(3)如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點．點P從點C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運動，速度為每秒個單位長度；同時點Q從原點O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度．點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當(dāng)運動到t秒時，QM=2PM，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x；(2)證明見解析；(3)當(dāng)運動時間為或秒時，QM=2PM．

【解析】

（1）（1）A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx中確定解析式；

（2）把A點坐標(biāo)代入所設(shè)的AF的解析式，與拋物線的解析式構(gòu)成方程組，解得G點坐標(biāo)，再通過證明三角形相似，得到同位角相等，兩直線平行；

（3）具體見詳解.

．解：（1）將點A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，

，解得： ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x．

（2）證明：設(shè)直線AF的解析式為y=kx+m，

將點A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，

∴k=m﹣2，

∴直線AF的解析式為y=（m﹣2）x+m．

聯(lián)立直線AF和拋物線解析式成方程組，

，解得： 或 ，

∴點G的坐標(biāo)為（m，m2﹣m）．

∵GH⊥x軸，

∴點H的坐標(biāo)為（m，0）．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣x=x（x﹣1），

∴點E的坐標(biāo)為（1，0）．

過點A作AA′⊥x軸，垂足為點A′，如圖1所示．

∵點A（﹣1，2），

∴A′（﹣1，0），

∴AE=2，AA′=2．

∴ =1， = =1，

∴= ，

∵∠AA′E=∠FOH，

∴△AA′E∽△FOH，

∴∠AEA′=∠FHO，

∴FH∥AE．

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=k0x+b0，

將A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得 ，解得： ，

∴直線AB的解析式為y=x+3，

當(dāng)運動時間為t秒時，點P的坐標(biāo)為（t﹣3，t），點Q的坐標(biāo)為（t，0）．

當(dāng)點M在線段PQ上時，過點P作PP′⊥x軸于點P′，過點M作MM′⊥x軸于點M′，則△PQP′∽△MQM′，如圖2所示，

∵QM=2PM，

∴ =，

∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，

∴點M的坐標(biāo)為（t﹣2， t）．

又∵點M在拋物線y=x2﹣x上，

∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），

解得：t=；

當(dāng)點M在線段QP的延長線上時，

同理可得出點M的坐標(biāo)為（t﹣6，2t），

∵點M在拋物線y=x2﹣x上，

∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），

解得：t=．

綜上所述：當(dāng)運動時間秒 或 時，QM=2PM．