Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+ 與y軸相交于點A，點B與點O關(guān)于點A對稱．

（1）填空：點B的坐標(biāo)為________；

（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0， ）；（2）PB=+，點P在拋物線上

【解析】

（1）由拋物線解析式可求得A點坐標(biāo)，再利用對稱可求得B點坐標(biāo)；

（2）可先用k表示出C點坐標(biāo)，過B作BD⊥l于點D，條件可知P點在x軸上方，設(shè)P點縱坐標(biāo)為y，可表示出PD、PB的長．在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時可得出P點坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上．

（1）∵y=﹣x2+的頂點A的坐標(biāo)為（0，），∴原點O關(guān)于點A的對稱點B的坐標(biāo)為（0，）．

故答案為：（0，）；

（2）∵B點坐標(biāo)為（0，），∴直線解析式為y=kx+，解得：x=﹣，∴OC=﹣．

∵PB=PC，∴點P只能在x軸上方，如圖，過點B作BD⊥l于點D，設(shè)PB=PC=m，則BD=OC=﹣，CD=OB=，∴PD=PC﹣CD=m﹣．

在Rt△PBD中，由勾股定理可得：PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得：m=+，∴PB=+，∴點P坐標(biāo)為（﹣+）．

當(dāng)x=﹣時，代入拋物線解析式可得：y=+，∴點P在拋物線上．