Question

【題目】在平面宜角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B．第一象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m，n），正實(shí)數(shù)m，n滿足4m+3n=12

（1）連接AP，PO，△APO的面積能否達(dá)到7個(gè)平方單位？為什么？

（2）射線AP平分∠BAO時(shí)，求代數(shù)式5m+n的值；

（3）若點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)C在x軸上，且2∠CBO+∠PA′O=90°，小慧演算后發(fā)現(xiàn)△ACP的面積不可能達(dá)到7個(gè)平方單位．請(qǐng)分析并評(píng)價(jià)“小薏發(fā)現(xiàn)”．

Answer 1

【答案】（1）不能；（2）9；（3）見解析.

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由△APO的面積等于7個(gè)平方單位可求出n值，代入4m+3n=12中可求出m值為負(fù)，由此可得出△APO的面積不能達(dá)到7個(gè)平方單位；

（2）設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，利用面積法及角平分線的性質(zhì)可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AP的解析式，由m，n滿足4m+3n=12可得出直線BP的解析式，聯(lián)立直線AP，BP的解析式成方程組，通過解方程組可求出m，n的值，再將其代入5m+n中即可得出結(jié)論；

（3）當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸時(shí)，由2∠CBO+∠PA′O=90°可得出BC平分∠OBA′，同（2）可求出C的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求出△ACB的面積，由該值大于7可得出：存在點(diǎn)P，使得△ACP的面積等于7個(gè)平方單位；當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸時(shí)，利用對(duì)稱可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求出△ACB的面積，由該值小于7可得出：此種情況下，△ACP的面積不可能達(dá)到7個(gè)平方單位．綜上，此題得解．

（1）△APO的面積不能達(dá)到7個(gè)平方單位，理由如下：

當(dāng)y=0時(shí)，x+4=0，解得：x=-3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）．

∴S△APO=OAn=7，即n=7，

∴n=．

又∵4m+3n=12，

∴m=-2，這與m為正實(shí)數(shù)矛盾，

∴△APO的面積不能達(dá)到7個(gè)平方單位．如圖1，

（2）設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，如圖2所示．

當(dāng)x=0時(shí)，y=x+4=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），

∴AB==5．

∵AP平分∠BAO，

∴EO=EF．

∵S△ABE=BEOA=ABEF，S△AOE=EOOA，

∴，即，

∴EO=，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，）．

設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A（-3，0），E（0，）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線AP的解析式為y=x+．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），m，n滿足4m+3n=12，

∴點(diǎn)P在直線y=-x+4上．

聯(lián)立直線AP，BP的解析式成方程組，得：

，

解得：，

∴m=，n=，

∴5m+n=9．

（3）“小薏發(fā)現(xiàn)”不對(duì)，理由如下：

依照題意，畫出圖形，如圖3所示．

∵2∠CBO+∠PA′O=90°，∠OBA′+∠PA′O=90°，

∴∠OBA′=2∠CBO．

∵點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P在線段BA′上．

當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸時(shí)，BC平分∠OBA′，

同（2）可得出：，即，

∴OC=，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），

∴AC=．

∵S△ACB=ACOB=××4=＞7，

∴不存在點(diǎn)P，使得△ACP的面積等于7個(gè)平方單位；

當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，0），

∴AC=．

∵S△ACB=ACOB=××4=＜7，

∴此種情況下，△ACP的面積不可能達(dá)到7個(gè)平方單位．

綜上所述：“小薏發(fā)現(xiàn)”不正確．