Question

【題目】如圖①，在正方形中，點(diǎn)，分別在、上，且．

（1）試探索線段、的關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；

（2）連接、，分別取、、、的中點(diǎn)、、、，四邊形是什么特殊平行四邊形？請(qǐng)?jiān)趫D②中補(bǔ)全圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AF＝DE，AF⊥DE，理由見詳解；（2）四邊形HIJK是正方形，補(bǔ)圖、理由見詳解．

【解析】

（1）根據(jù)已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF＝DE，∠BAF＝∠ADE，再由直角三角形的兩個(gè)銳角互余和有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形可證得AF⊥DE．

（2）根據(jù)已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位線，由全等三角形的判定可得到四邊形四邊都相等且有一個(gè)角是直角，從而來可得到該四邊形是正方形．

解：（1）AF＝DE， AF⊥DE．

∵ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵AE＝BF，

∴△DAE≌△ABF，

∴AF＝DE，∠BAF＝∠ADE．

∵∠DAB＝90°，

∴∠BAF+∠DAF＝90°，

∴∠ADE+∠DAF＝90°，

∴AF⊥DE．

∴AF＝DE，AF⊥DE．

（2）四邊形HIJK是正方形．

如下圖，H、I、J、K分別是AE、EF、FD、DA的中點(diǎn)，

∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，

∵AF＝DE，

∴HI＝KJ＝HK＝IJ，

∴四邊形HIJK是菱形，

∵△DAE≌△ABF，

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE+∠AED＝90°，

∴∠BAF+∠AED＝90°，

∴∠AOE＝90°

∴∠KHI＝90°，

∴四邊形HIJK是正方形．