【題目】如圖,直徑,于點,連接于點,過點的切線交于點,連接交于點

1)求證:

2)連接并延長,交于點,填空:

①當的度數(shù)為_________時,四邊形為菱形;

②當的度數(shù)為__________時,四邊形為正方形;

【答案】1)詳見解析;(2)①30°;②22.5°

【解析】

(1)連接OC,利用切線的性質(zhì)得∠1+4=90°,再利用等腰三角形和互余證明∠1=2,然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論;
(2)①當∠D=30°時,∠DAO=60°,證明△CEF和△FEG都為等邊三角形,從而得到EF=FG=GE=CE=CF,則可判斷四邊形ECFG為菱形;
②當∠D=22.5°時,∠DAO=67.5",利用三角形內(nèi)角和計算出∠COE=45°,利用對稱得∠EOG=45°,則∠COG=90°,接著證明OEC≌△OEG得到∠OGE=OCE=90°,從而證明四邊形ECOG為矩形,然后進一步證明四邊形ECOG為正方形.

1)證明:連接,如圖:

是切線,

,

,

,

,

,

,

;

2當∠D=30°,DAO=60°,
AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠B=30°
∴∠3=2=60°,
CE=FE
△CEF為等邊三角形,
CE=CF=EF
同理可得∠GFE=60°,
利用對稱得FG=FC,
FG=EF,
△FEG為等邊三角形,
EG=FG,
EF=FG=GE=CE,
∴四辺形ECFG為菱形;

故答案為:30°;
當∠D= 22.5 °時,∠DAO= 67.5°,

OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC=67.5°,
∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°,
∴∠AOC=45°,
∴∠COE=45°,
利用對稱得∠EOG=45°,
∴∠COG=90°,
易得△OEC≌△OEG,
∠OGE=∠OCE=90° ,
.四邊形ECOG為矩形,
OC=OG
∴四邊形ECOG為正方形,
故答案為:22.5°.

練習冊系列答案
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