Question

【題目】在水域上建一個(gè)演藝廣場(chǎng)，演藝廣場(chǎng)由看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺(tái)BCDE四個(gè)部分構(gòu)成（如圖），看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個(gè)半圓形區(qū)域，且看臺(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍，矩形表演臺(tái)BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面積為 平方米，設(shè)∠BAC=θ．
（1）求BC的長(zhǎng)（用含θ的式子表示）；
（2）若表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3萬元，求表演臺(tái)的最低造價(jià)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵看臺(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍，

∴ （ ）2=3× （ ）2，∴AB= AC，

∵S△ABC= = AC2sinθ=400 ，

∴AC2= ，∴AB2= ，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosθ= ，

∴BC=40 ．

（2）解：設(shè)表演臺(tái)的造價(jià)為y萬元，則y=120 ，

設(shè)f（θ）= （0＜θ＜π），則f′（θ）= ，

∴當(dāng)0 時(shí)，f′（θ）＜0，當(dāng) 時(shí)，f′（θ）＞0，

∴f（θ）在（0， ）上單調(diào)遞減，在（ ，π）上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)θ= 時(shí)，f（θ）取得最小值f（ ）=1，

∴y的最小值為120，即表演臺(tái)的最小造價(jià)為120萬元

【解析】（1）根據(jù)看臺(tái)的面積比得出AB，AC的關(guān)系，代入三角形的面積公式求出AB，AC，再利用余弦定理計(jì)算BC；（2）根據(jù)（1）得出造價(jià)關(guān)于θ的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最小造價(jià)．