【題目】(綜合與實(shí)踐)如圖①,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在射線CD、BC上,且BF=CE,將線段FA繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FG,連接EG,試探究線段EG和BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.
(觀察與猜想)任務(wù)一:“智慧小組”首先考慮點(diǎn)E、F的特殊位置如圖②,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),易知:EG與BF的數(shù)量關(guān)系是 ,EG與BF的位置關(guān)系是 .
(探究與證明)任務(wù)二:“博學(xué)小組”同學(xué)認(rèn)為E、F不一定必須在特殊位置,他們分兩種情況,一種是點(diǎn)E、F分別在CD、BC邊上任意位置時(shí)(如圖③);一種是點(diǎn)E、F在CD、BC邊的延長(zhǎng)線上的任意位置時(shí)(如圖④),線段EG與BF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍然成立.請(qǐng)你選擇其中一種情況給出證明.
(拓展與延伸)“創(chuàng)新小組”同學(xué)認(rèn)為,若將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD,且=k(k≠1)”,點(diǎn)E、F分別在射線CD、BC上任意位置時(shí),仍將線段FA繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,并適當(dāng)延長(zhǎng)得到線段FG,連接EG(如圖⑤),則當(dāng)線段BF、CE、AF、FG滿足一個(gè)條件 時(shí),線段EG與BF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍然成立.(請(qǐng)你在橫線上直接寫(xiě)出這個(gè)條件,無(wú)需證明)
【答案】【觀察與猜想】EG=BF,EG∥BF;【探究與證明】見(jiàn)解析;【拓展與延伸】==k(k≠1).
【解析】
【觀察與猜想】先根據(jù)SAS證明△ABC≌△GDC,得出AB=GD,∠GDC=∠B=90°,進(jìn)而得出DG∥BC,△CDG是等腰直角三角形,再由等腰直角三角形的性質(zhì)得出DG=CD=BC,即可得出結(jié)論;
【探究與證明】當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CD、BC邊上任意位置時(shí),作GM⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于M,先根據(jù)AAS證明△ABF≌△FMG,得出AB=FM,BF=MG,進(jìn)而可得BF=CM,而BF=CE,可得MG=CE,于是四邊形CEGM是矩形,繼而有EG=CM,EG∥CM,即可得出結(jié)論;當(dāng)點(diǎn)E、F在CD、BC邊的延長(zhǎng)線上的任意位置時(shí),同上面的分析;
【拓展與延伸】作GM⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于M,先證明△ABF∽△FMG,得出,結(jié)合已知可得出,,進(jìn)而證出FM=BC,GM=CE,于是BF=CM,然后證明四邊形CEGM是矩形,進(jìn)而得EG=CM,EG∥CM,即可得出結(jié)論.
【觀察與猜想】EG=BF,EG∥BF;
證明:如圖②,∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠B=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD,∠ACB=∠ACD=45°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:GC=AC,∠ACG=90°,
∴∠ACB=∠GCD=45°,
∴△ABC≌△GDC(SAS),
∴AB=GD,∠GDC=∠B=90°,
∴DG∥BC,△CDG是等腰直角三角形,
∴DG=CD=BC,
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,點(diǎn)F與點(diǎn)C重合,
∴EG=BF,EG∥BF;
故答案為:EG=BF,EG∥BF;
【探究與證明】證明:當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CD、BC邊上任意位置時(shí),如圖③所示:
作GM⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于M,則∠GMF=90°,MG∥DC,
∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠BCD=∠B=90°,
∴∠BAF+∠BFA=90°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:GF=AF,∠AFG=90°,
∴∠BFA+∠MFG=90°,∴∠BAF=∠MFG,
∴△ABF≌△FMG(AAS),
∴AB=FM,BF=MG,
∵AB=BC,∴BF=CM,
∵BF=CE,∴MG=CE,
∵MG∥CE,∴四邊形CEGM是平行四邊形,
又∵∠M=90°,∴四邊形CEGM是矩形,
∴EG=CM,EG∥CM,
∴EG=BF,EG∥BF;
當(dāng)點(diǎn)E、F在CD、BC邊的延長(zhǎng)線上的任意位置時(shí),如圖④所示:
作GM⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于M,則∠M=90°,MG∥DC,
∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠BCD=∠B=90°,
∴∠BAF+∠BFA=90°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:GF=AF,∠AFG=90°,
∴∠BFA+∠MFG=90°,∴∠BAF=∠MFG,
∴△ABF≌△FMG(AAS),
∴AB=FM,BF=MG,
∵AB=BC,∴BF=CM,
∵BF=CE,∴MG=CE,
∵MG∥CE,∴四邊形CEGM是平行四邊形,
又∵∠M=90°,∴四邊形CEGM是矩形,
∴EG=CM,EG∥CM,
∴EG=BF,EG∥BF;
【拓展與延伸】解:=k(k≠1)時(shí),線段EG與BF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍然成立;理由如下:
作GM⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于M,如圖⑤所示:則∠M=90°,MG∥DC,
∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BCD=∠B=90°,
∴∠BAF+∠BFA=90°,∠B=∠M,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:∠AFG=90°,∴∠BFA+∠MFG=90°,
∴∠BAF=∠MFG,∴△ABF∽△FMG,
∴,
∵=k,∴=k,=k,
∴FM=BC,GM=CE,∴BF=CM,
∵MG∥CE,∴四邊形CEGM是平行四邊形,
又∵∠M=90°,∴四邊形CEGM是矩形,
∴EG=CM,EG∥CM,
∴EG=BF,EG∥BF;
故答案為:=k(k≠1).
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示是二次函數(shù)圖象的一部分,圖象過(guò)點(diǎn),二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為直線,給出五個(gè)結(jié)論:①;②;③當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;④方程的根為,;⑤其中正確結(jié)論是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ③④⑤
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將兩塊斜邊長(zhǎng)相等的等腰直角三角板按如圖①擺放,斜邊AB分別交CD,CE于M,N點(diǎn).
(1)如果把圖①中的△BCN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,連接FM,如圖②,求證:△CMF≌△CMN;
(2)將△CED繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),則:
①當(dāng)點(diǎn)M,N在AB上(不與點(diǎn)A,B重合)時(shí),線段AM,MN,NB之間有一個(gè)不變的關(guān)系式,請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式,并說(shuō)明理由;
②當(dāng)點(diǎn)M在AB上,點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線上(如圖③)時(shí),①中的關(guān)系式是否仍然成立?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點(diǎn),其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)根據(jù)圖象,直接寫(xiě)出滿足的的取值范圍;
(2)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(3)點(diǎn)在線段上,且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c交x軸分別于點(diǎn)A(﹣3,0),B(1,0),交y軸正半軸于點(diǎn)D,拋物線頂點(diǎn)為C.下列結(jié)論
①2a﹣b=0;
②a+b+c=0;
③當(dāng)m≠﹣1時(shí),a﹣b>am2+bm;
④當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí),a=;
⑤若D(0,3),則拋物線的對(duì)稱軸直線x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)P與B、D兩點(diǎn)圍成的△PBD周長(zhǎng)最小值為3,其中,正確的個(gè)數(shù)為( 。
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一個(gè)二次函數(shù)滿足以下條件:
①函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,0),B(x2,y2)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè));
②對(duì)稱軸是x=3;
③該函數(shù)有最小值是﹣2.
(1)請(qǐng)根據(jù)以上信息求出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)將該函數(shù)圖象x>x2的部分圖象向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”,平行于x軸的直線與圖象“G”相交于點(diǎn)C(x3,y3)、D(x4,y4)、E(x5,y5)(x3<x4<x5),結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象求x3+x4+x5的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一條筆直的公路上有A、B兩地,甲、乙兩輛貨車都要從A地送貨到B地,甲車先從A地出發(fā)勻速行駛,3小時(shí)后,乙車從A地出發(fā),并沿同一路線勻速行駛,當(dāng)乙車到達(dá)B地后立刻按原速返回,在返回途中第二次與甲車相遇。甲車出發(fā)的時(shí)間記為t (小時(shí)),兩車之間的距離記為y(千米),y與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則乙車第二次與甲車相遇時(shí),甲車距離A地___千米.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn),BD,CE交于點(diǎn)H,BE、AH交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論:①∠ABE=∠DCE;②AG⊥BE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD.其中正確的是( 。
A.①③B.①②③④C.①②③D.①③④
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙與菱形在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在軸上,且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè).
()求菱形的周長(zhǎng).
()若⊙沿軸向右以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移,菱形沿軸向左以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移,設(shè)菱形移動(dòng)的時(shí)間為(秒),當(dāng)⊙與相切,且切點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),連接,求的值及的度數(shù).
()在()的條件下,當(dāng)點(diǎn)與所在的直線的距離為時(shí),求的值.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com