【題目】已知:如圖1,在梯形中,,,,點(diǎn),,分別在邊,上,.

1)求證:四邊形是平行四邊形;

2)當(dāng)時(shí),求證:四邊形是矩形;

3)在(2)的條件下,如圖2,過點(diǎn)于點(diǎn),當(dāng),,這三條線段的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí),可以判斷四邊形是正方形?并說明理由.

【答案】(1)證明見詳解;(2)證明見詳解;(3) AD+BF=2GH,證明見詳解.

【解析】

(1)要證明該四邊形是平行四邊形,只需證明 AE∥FG .根據(jù)對邊對等角∠GFC =∠C,和等腰梯形的性質(zhì)得到∠B = ∠C ,則∠B =∠GFC ,得到 AE∥FG

(2)在平行四邊形的基礎(chǔ)上要證明是矩形,只需證明有一個(gè)角是直角.根據(jù)三角形 FGC 的內(nèi)角和是 180 °,結(jié)合∠FGC = 2∠EFB∠GFC =∠C ,得到∠BFE +GFC=90 °.則∠EFG = 90 °

(3)題干要求,這三條線段的長度數(shù)量關(guān)系并使得四邊形是正方形,根據(jù)題意作輔助線延長FB至點(diǎn)M,使BM=AD,連接EM,過點(diǎn)EENBF,垂足為N,得到繼續(xù)分析求證即可.

解:證明:(1 在梯形 ABCD 中,AB = DC ,∠ B = ∠ C

∵ GF = GC ,

∴∠ C = ∠ GFC ,∠ B = ∠ GFC,

∴ AB ∥ GF ,即 AE ∥ GF,

∵ AE = GF ,

四邊形 AEFG 是平行四邊形.

( 2 ) ∵∠ FGC + ∠ GFC + ∠ C = 180 o,∠ GFC = ∠ C ,∠ FGC = 2 ∠ EFB

∴ 2 ∠ GFC +2 ∠ EFB = 180 o,

∴∠ BFE + ∠ GFC = 90o

∴∠ EFG = 90o

四邊形 AEFG 是平行四邊形,

四邊形 AEFG 是矩形.

3)在(2)的條件下,當(dāng)AD+BF=2GH時(shí)可以判斷四邊形AEFG是正方形.理由如下:

如圖3,延長FB至點(diǎn)M,使BM=AD,連接EM,過點(diǎn)EENBF,垂足為N,

則有MF=BM+BF=AD+BF=2GH,得到

,

.

,

.

.

四邊形AEFG是矩形,

四邊形是正方形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,DAB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)DDEAC于點(diǎn)E,DFBC于點(diǎn)F,連接EF,則線段EF的最小值是(  )

A. 4B. 4.6C. 4.8D. 5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,BC=2AB,對角線相交于O,過C點(diǎn)作CEBDBDE點(diǎn),HBC中點(diǎn),連接AHBDG點(diǎn),交EC的延長線于F點(diǎn),下列5個(gè)結(jié)論:①EH=AB;②∠ABG=HEC;③△ABG≌△HEC;SGAD=S四邊形GHCE,CF=BD.正確的有( 。﹤(gè).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗大量電能,消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價(jià)是一次函數(shù)關(guān)系,經(jīng)過測算,工廠每千度電產(chǎn)生利潤(元/千度))與電價(jià)(元/千度)的函數(shù)圖象如圖:

當(dāng)電價(jià)為/千度時(shí),工廠消耗每千度電產(chǎn)生利潤是多少?

為了實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排目標(biāo),有關(guān)部門規(guī)定,該廠電價(jià)(元/千度)與每天用電量(千度)的函數(shù)關(guān)系為,且該工廠每天用電量不超過千度,為了獲得最大利潤,工廠每天應(yīng)安排使用多少度電?工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩人加工同一種玩具,甲加工90個(gè)玩具所用的時(shí)間與乙加工120個(gè)玩具所用的時(shí)間相等,已知甲乙兩人每天共加工35個(gè)玩具,設(shè)甲每天加工x個(gè)玩具:

(1)乙每天加工  個(gè)玩具(用含x的代數(shù)式表示);

(2)求甲乙兩人每天各加工多少個(gè)玩具?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將與2022220日在北京舉行,北京將成為歷史上第一座舉辦過夏奧會(huì)又舉辦過冬奧會(huì)的城市,東寶區(qū)舉辦了一次冬奧會(huì)知識網(wǎng)上答題競賽,甲、乙兩校各有400名學(xué)生參加活動(dòng),為了解這兩所學(xué)校的成績情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,過程如下,請補(bǔ)充完整.

(收集數(shù)據(jù))

從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取20名學(xué)生,在這次競賽中它們的成績?nèi)缦拢?/span>

30

60

60

70

60

80

30

90

100

60

60

100

80

60

70

60

60

90

60

60

80

90

40

60

80

80

90

40

80

50

80

70

70

70

70

60

80

50

80

80

(整理、描述數(shù)據(jù))按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):

(說明:優(yōu)秀成績?yōu)?/span>80<x≤100,良好成績?yōu)?/span>50<x≤80,合格成績?yōu)?/span>30≤x≤50.)

學(xué)校

平均分

中位數(shù)

眾數(shù)

67

60

60

70

75

a

30≤x≤50

50<x≤80

80<x≤100

2

14

4

4

14

2

(分析數(shù)據(jù))兩組樣本數(shù)據(jù)的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)如右表所示:其中a=  

(得出結(jié)論)

(1)小偉同學(xué)說:這次競賽我得了70分,在我們學(xué)校排名屬中游略偏上!由表中數(shù)據(jù)可知小明是  校的學(xué)生;(填”)

(2)老師從乙校隨機(jī)抽取一名學(xué)生的競賽成績,試估計(jì)這名學(xué)生的競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為  ;

(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷一所你認(rèn)為競賽成績較好的學(xué)校,并說明理由.(至少從兩個(gè)不同的角度說明推斷的合理性)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在邊長為1的正方形網(wǎng)格中標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個(gè)格點(diǎn),頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形叫做格點(diǎn)三角形,如格點(diǎn)三角形△ABC

1)△ABC的面積為   

2)△ABC的形狀為   ;

3)根據(jù)圖中標(biāo)示的各點(diǎn)(A、B、CD、E、F)位置,與△ABC全等的格點(diǎn)三角形是   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地完全相同的4只小球,小球上分別標(biāo)有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字.

(1)從袋中隨機(jī)摸出一只小球,求小球上所標(biāo)數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率;

(2)從袋中隨機(jī)摸出一只小球,再從剩下的小球中隨機(jī)摸出一只小球,求兩次摸出的小球上所標(biāo)數(shù)字之和為5的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖某農(nóng)場要建一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場,雞場的一邊靠墻(墻長18m),另三邊用木欄圍成,木欄長35m.雞場的面積能達(dá)到150m2嗎?如果能,請你給出設(shè)計(jì)方案;如果不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案