Question

【題目】如圖：一次函數(shù) 的圖象與坐標軸交于A、B兩點，點P是函數(shù)（0＜x＜4）圖象上任意一點，過點P作PM⊥y軸于點M，連接OP.

（1）當AP為何值時，△OPM的面積最大？并求出最大值；

（2）當△BOP為等腰三角形時，試確定點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）點P的坐標為(，)或(2，)．

【解析】

（1）令P點坐標為（x0，y0），根據(jù)三角形面積公式列出S△OPM關于x0的二次函數(shù)解析式，確定最大值，進而根據(jù)相似比求出當△OPM面積最大時AP的長即可；（2）將情況分為BO＝BP以及OP＝BP兩種進行討論：①當BO＝BP時，根據(jù)三角形相似求出MP的長，即P點的橫坐標，將P點橫坐標代入一次函數(shù)解析式，即可得到P點的坐標；②當OP＝BP時，如圖，過點P作PM⊥OB于點N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ON＝OB，ON的長即為P點的橫坐標，將ON＝2代入一次函數(shù)解析式中即可求出P點的縱坐標.

（1）令點的坐標為，

軸，

將代入得

當時，的面積，有最大值，

即：，

，

即

直線分別交兩坐標軸于點、，

，，

，，

，

；

（2）①在中，當時

，

，

，

將代入代入中，得

，；

②在中，當時，如圖，

過點作于點

，

將代入中得，

點的坐標為，

即：點的坐標為，或．