Question

【題目】已知直線AB∥CD，直線EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F．

（1）如圖1，若∠1=60°，求∠2=__________；∠3=__________．

（2）若點(diǎn)P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三個(gè)角之間的關(guān)系．

①當(dāng)點(diǎn)P在圖2的位置時(shí)，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD． 理由如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（__________）

∵AB∥CD（已知） MN∥AB（作圖）

∴MN∥CD（__________）

∴∠MPF=∠PFD （__________）

∴__________+__________=∠PEB+∠PFD（等式的性質(zhì)）

即：∠EPF=∠PEB+∠PFD．請(qǐng)補(bǔ)充完整說(shuō)理過(guò)程（填寫(xiě)理由或數(shù)學(xué)式）

②當(dāng)點(diǎn)P在圖3的位置時(shí)，此時(shí)∠EPF=80°，∠PEB=156°，則∠PFD=__________；

③當(dāng)點(diǎn)P在圖4的位置時(shí)，寫(xiě)出∠EPF，∠PEB，∠PFD三個(gè)角之間的關(guān)系并證明（每一步必須注明理由）．

Answer 1

【答案】（1）∠2=60°；∠3=60°；（2）①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠EPM+∠FPM；②124°；③∠EPF+∠PFD=∠PEB；證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)頂角相等求∠2，根據(jù)兩直線平行，同位角相等求∠3；
（2）①過(guò)點(diǎn)P作MN//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠EPM=∠PEB，且有MN//CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性質(zhì)易得∠EPF=∠PEB十∠PFD；
②同①；
③利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得到三個(gè)角之間的關(guān)系．

解：（1）應(yīng)填∠2=60°，∠3=60°．理由是：

∵∠2=∠1，∠1=60°，
∴∠2=60°，
∵AB//CD
∴∠3=∠1=60°；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在圖（2）的位置時(shí)，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD． 理由如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作圖）

∴MN∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∴　∠EPM+∠FPM　=∠PEB+∠PFD（等式的性質(zhì)）

即：∠EPF=∠PEB+∠PFD

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠EPM+∠MP

②當(dāng)點(diǎn)P在圖3的位置時(shí)，此時(shí)∠EPF=80°，∠PEB=156°，則∠PFD=124°．理由為：

如圖3所示，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，
則∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，

∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°
∴∠PFD=360°-80°-156°=124°；
故答案為：124°

③當(dāng)點(diǎn)P在圖4的位置時(shí)，∠EPF，∠PEB，∠PFD三個(gè)角之間關(guān)系是：　

∠EPF+∠PFD=∠PEB　

證明如下：

如圖4，過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB，

∴MN∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∴∠EPM-∠MPF=∠PEB-∠PFD（等式的性質(zhì)）

即∠EPF+∠PFD=∠PEB