Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與y軸交于C點，交x軸于A、B，且OB＝OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線l：y＝x+b（b＜0）交x軸于M，交y軸于N．將△MON沿直線l翻折，得到△MPN，點O的對應(yīng)點為P．若O的對應(yīng)點P恰好落在拋物線上，求直線l的解析式；

（3）如圖2，將原拋物線向左平移1個單位，向下平移t個單位，得到新拋物線C1．若直線y＝m與新拋物線C1交于P、Q兩點，點M是新拋物線C1上一動點，連接PM，并將直線PM沿y＝m翻折交新拋物線C1于N，過Q作QT∥y軸，交MN于點T，求的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）直線l的表達式為：y＝x﹣；（3）1．

【解析】

（1）OB＝OC＝3a，故點B（3a，0），將點B的坐標代入y＝ax22ax3a，即可求解；

（2）求出點P的坐標（﹣b，b），將點P的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（3）計算xP+xM＝k，同理可得：xP+xN＝﹣k，而xT＝xQ＝﹣xP，而TH∥MG，故，即＝＝1．

解：（1）∵c＝﹣3a，

∴OB＝OC＝3a，故點B（3a，0），

將點B的坐標代入y＝ax2﹣2ax﹣3a并解得：a＝1或﹣（舍去﹣），

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）連接OP，交MN于點K，則OP⊥MN，

則直線OP的表達式為：y＝﹣2x，而直線MN的表達式為：y＝x+b，

聯(lián)立上述兩個表達式并解得：x＝﹣b，則點K（﹣b，b），

∵點K是OP的中點，由中點公式得：點P的坐標為（﹣b，b），

將點P的坐標代入拋物線表達式得：（﹣b）2﹣2（﹣b）﹣3＝b，解得：b＝﹣

（不合題意值已舍去）；

故直線l的表達式為： y＝x﹣；

（3）平移后拋物線的表達式C1：y＝x2﹣4﹣t①，

設(shè)直線PM的表達式為：y＝kx+c②；則PN的表達式為：y＝﹣kx+d，

聯(lián)立①②并整理得：x2﹣kx﹣（4+t+c）＝0，

∴xP+xM＝k，

同理可得：xP+xN＝﹣k，而xT＝xQ＝﹣xP，

如圖2，過點N作x軸的平行線交過點M與y軸的平行線于點G，延長TQ交NG于點H，

∴TH∥MG，故，即＝＝1．