Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)。

（1）求拋物線的解析式。

（2）求△ABC的面積。若P是拋物線上一點(diǎn)（異于點(diǎn)Ｃ），且滿足△ABP的面積等于△ABC的面積，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作MN∥軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)。

（4）在（3）的條件下，連接NB、NC，則是否存在點(diǎn)M，使△BNC的面積最大？若存在，求的值，并求出△BNC面積的最大值。若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+2x+3 （2）（2,3）（,-3）（,-3） （3）MN=－m2+3m （4）存在

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)已知條件設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)求得的值就可得解析式為；

（2）由已知條件可求得△ABC的面積為6，由點(diǎn)P在拋物線上可設(shè)其坐標(biāo)為，則由題意可得△ABP中，AB邊上的高為，由此可求得的值，從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖1由已知可求出直線BC的解析式，再由MN∥軸，可用含“”的代數(shù)式表達(dá)出M、N的縱坐標(biāo)，用點(diǎn)N的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)可得MN的長(zhǎng)；

（4）如圖2，連接BN、CN，設(shè)△BNC的面積為S，由S=MN（OD+BD）可表達(dá)出面積，結(jié)合（3）中“”的取值范圍可求出S的最大值.

試題解析：

(1)由已知條件可設(shè)拋物線解析式為，

∵點(diǎn)C（0,3）在拋物線上.

∴，解得，

∴拋物線解析式為.

（2）∵點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴AB=4，OC=3

∴ S△ABC=，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

∵ S△ABP= S△ABC=6，

∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于OC的長(zhǎng)，即：

當(dāng)－x2+2x+3.=3時(shí)，解得

∴P（0,3）（舍）， P（2,3）

當(dāng)－x2+2x+3.=-3時(shí)，解得

∴P（,-3）， P（,-3）

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）（,-3）（,-3）

（3）如圖1，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)D，

∵M(jìn)N∥y軸，點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,

∴N的橫坐標(biāo)為m, D（m,0)

∵點(diǎn)N在拋物線上

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為N( m, －m2+2m+3),

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,

∴ 解得

∴直線BC的解析式為y= －x+3.

∵點(diǎn)M在直線BC上,

∴點(diǎn)M（m, －m+3)

∴MN=DN－DM=(－m2+2m+3)－(－m+3)=－m2+3m

(4)存在.如2，連接BN、CN

設(shè)△BNC的面積為S，則

∵，且，

∴時(shí)，△BNC的面積最大，最大面積為.