Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，已知△ABC，請畫出△ABC關于直線AC對稱的三角形．
問題探究
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．
問題解決
（3）如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG= 米，∠EHG=45°，經(jīng)研究，只有當點E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點H在矩形ABCD內部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，△ADC即為所求；

（2）

解：存在，理由：作E關于CD的對稱點E′，

作F關于BC的對稱點F′，

連接E′F′，交BC于G，交CD于H，連接FG，EH，

則F′G=FG，E′H=EH，則此時四邊形EFGH的周長最小，

由題意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，

∴AF′=6，AE′=8，

∴E′F′=10，EF=2 ，

∴四邊形EFGH的周長的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2 +10，

∴在邊BC、CD上分別存在點G、H，

使得四邊形EFGH的周長最小，

最小值為2 +10；

（3）

解：能裁得，

理由：∵EF=FG= ，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，

∴∠1=∠2，

在△AEF與△BGF中， ，

∴△AEF≌△BGF，

∴AF=BG，AE=BF，設AF=x，則AE=BF=3﹣x，

∴x2+（3﹣x）2=（ ）2，解得：x=1，x=2（不合題意，舍去），

∴AF=BG=1，BF=AE=2，

∴DE=4，CG=5，

連接EG，

作△EFG關于EG的對稱△EOG，

則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，

以O為圓心，以EG為半徑作⊙O，

則∠EHG=45°的點在⊙O上，

連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，

連接EH′GH′，則∠EH′G=45°，

此時，四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的，

∴C在線段EG的垂直平分線設，

∴點F，O，H′，C在一條直線上，

∵EG= ，

∴OF=EG= ，

∵CF=2 ，

∴OC= ，

∵OH′=OE=FG= ，

∴OH′＜OC，

∴點H′在矩形ABCD的內部，

∴可以在矩形ABCD中，裁得符合條件的面積最大的四邊形EFGH′部件，

這個部件的面積= EGFH′= × ×（ + ）=5+ ，

∴當所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時，裁得了符合條件的最大部件，這個部件的面積為（5+ ）m2．

【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，存在性問題，掌握的作出輔助線利用對稱的性質解決問題是解題的關鍵．（1）作B關于AC 的對稱點D，連接AD，CD，△AC即為所求；（2）作E關于CD的對稱點E′，作F關于BC的對稱點F′，連接E′F′，得到此時四邊形EFGH的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2 即可得到結論；（3）根據(jù)余角的性質得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根據(jù)全等三角形的性質得到AF=BG，AE=BF，設AF=x，則AE=BF=3﹣x根據(jù)勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG關于EG的對稱△EOG，則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O為圓心，以EG為半徑作⊙O，則∠EHG=45°的點在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，則∠EH′G=45°，于是得到四邊形EFGH′是符合條件的最大部件，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結論．