Question

【題目】（教材回顧）

七上教材有這樣一段文字：人們通過長期觀察發(fā)現(xiàn)如果早晨天空中棉絮的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常用這樣的方法探究規(guī)律．

（數(shù)學(xué)問題）

四邊形有4個(gè)頂點(diǎn)，如果在它的內(nèi)部再畫n個(gè)點(diǎn)，并以這（n+4）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，那么最多可以剪得多少個(gè)這樣的三角形？

（問題探究）

為了解決這個(gè)問題，我們可以從n=1，n=2，n=3等具體的、簡單的情形入手，探索最多可以剪得的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．

（問題解決）

（1）當(dāng)四邊形內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多剪得的三角形個(gè)數(shù)為______________；

（2）你發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律是：四邊形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多剪得的三角形增加______個(gè)；

（3）猜想：當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得_______________個(gè)三角形；像這樣通過對(duì)簡單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納．

（問題拓展）

請(qǐng)你嘗試用歸納的方法探索4+6+8+10+…+2n+（2n+2）的和是多少？

Answer 1

【答案】（1）10；（2）2；（3）2n+2；問題拓展：n2+3n.

【解析】

（1）根據(jù)【問題探究】提供的數(shù)據(jù)，進(jìn)而得出答案；

（2）利用探究數(shù)據(jù)得出三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律即可；

（3）因?yàn)?/span>6-4=8-6=2，所以四邊形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多可以剪得的三角形增加2個(gè)；∵四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)4=2×1+2，因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)6=2×2+2，四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)8=2×3+2，所以四形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)2n+2；

[問題拓展]列表歸納即可得到結(jié)論．

（1）∵當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，最多可以剪得4個(gè)三角形；

當(dāng)四形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，最多可以剪得6個(gè)三角形；

當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，最多可以剪得8個(gè)三角形；

當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4時(shí)，最多可以剪得10個(gè)三角形；

（2）利用（1）中變化規(guī)律得出：因?yàn)?/span>6-4=8-6=2，所以四邊形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多可以剪得的三角形增加2個(gè)；

（3）∵四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)4=2×1+2，因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)6=2×2+2，四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)8=2×3+2，所以四形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)2n+2；

[問題拓展]

列表歸納

加數(shù)的個(gè)數(shù)	和
4+6	22+2×3
4+6+8	32+3×3
4+6+8+10	42+4×3
…	…
4+6+8+10+…+（2n+2）	n2+3n

∴4+6+8+10+…+2n+（2n+2）= n2+3n