Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，∠ABC＝45 ，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，過(guò)A、C兩點(diǎn)向經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線作垂線，垂足分別為E、F.

（1）如圖①，求證：EF＝AE+CF.

（2）如圖②，圖③，線段EF、AE、CF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）圖②：EF＝AE+CF 圖③：EF＝AE-CF，見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接OC，運(yùn)用AAS證△AOE≌△OCF即可；

（2）按（1）中的方法，連接OC，證明△AOE≌△OCF，即可得出結(jié)論

（1）連接OC，∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠AOC=90°，AO=CO，

∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，

∴∠EAO=∠COF，

又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO，

∴△AOE≌△OCF（AAS）

∴OE＝CF，AE＝OF ∴EF＝AE+CF

（2）如圖②，連接OC，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠AOC=90°，AO=CO，

∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，

∴∠EAO=∠COF，

又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO，

∴△AOE≌△OCF（AAS）

∴OE＝CF，AE＝OF

∴EF＝AE+CF.