【題目】如圖,拋物線y=x2﹣ax+a﹣1與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在正半軸上),與y軸交于點(diǎn)C,OA=3OB.點(diǎn)P在CA的延長線上,點(diǎn)Q在第二象限拋物線上,S△PBQ=S△ABQ.
(1)求拋物線的解析式.
(2)求直線BQ的解析式.
(3)若∠PAQ=∠APB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)y=﹣x+1;(3)點(diǎn)P(﹣4,1).
【解析】
(1)令y=x2﹣ax+a﹣1=0,解得:x=a﹣1或1,故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(a﹣1,0)、(1,0),即可求解;
(2)S△PBQ=S△ABQ,則△PBQ和△ABQ底邊BQ邊上的高相等,故直線PC∥BQ,即可求解;
(3)證明△PBQ≌△AQB(SAS),則∠PQB=∠ABQ=45°,則PQ∥y軸,即可求解.
解:(1)令y=x2﹣ax+a﹣1=0,解得:x=a﹣1或1,
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(a﹣1,0)、(1,0),
∵OA=3OB,故1﹣a=3,解得:a=﹣2,
故拋物線的表達(dá)式為:y=x2+2x﹣3;
(2)對(duì)于y=x2+2x﹣3,令x=0,則y=﹣3,故點(diǎn)C(0,﹣3),
∵S△PBQ=S△ABQ,
∴△PBQ和△ABQ底邊BQ邊上的高相等,
故直線PC∥BQ,
設(shè)直線AC的表達(dá)式為:y=kx+b,則,解得:,
故直線AC的表達(dá)式為:y=﹣x﹣3,
則設(shè)直線BQ的表達(dá)式為:y=﹣x+b,
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得:b=1,
故直線BQ的表達(dá)式為:y=﹣x+1;
(3)設(shè)直線PB交AQ于點(diǎn)D,
由直線BQ的表達(dá)式知∠ABQ=45°,
由(2)知PC∥BQ,
∴∠QAP=∠AQB,∠BPA=∠QBP,
而∠PAQ=∠APB,
∴∠AQB=∠PBQ,
∴DB=DQ,
∵∠PAQ=∠APB,
∴DP=DA,
∴PA=AQ,
而BQ=BQ,
∴△PBQ≌△AQB(SAS),
∴∠PQB=∠ABQ=45°,
∴PQ∥y軸,
聯(lián)立直線PQ和拋物線的表達(dá)式,得,解得或,
即x=1或﹣4(舍去1),
故點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣4,即為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),
而點(diǎn)P在直線AC:y=﹣x﹣3,
故點(diǎn)P(﹣4,1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境:
在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).如 圖 1,將:矩形紙片 ABCD 沿對(duì)角線 AC 剪開,得到△ABC 和△ACD.并且量得 AB =4cm,AC=8cm.
操作發(fā)現(xiàn):
(1)將圖 1 中的△ACD 以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠α,使∠α=∠BAC,得到如圖 2 所示的△AC′D,過點(diǎn) C 作 AC′的平行線,與 DC'的延長線 交于點(diǎn) E,則四邊形 ACEC′的形狀是 .
(2)創(chuàng)新小組將圖 1 中的△ACD 以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使 B、 A、D 三點(diǎn)在同一條直線上,得到如圖 3 所示的△AC′D,連接 CC',取 CC′的中 點(diǎn) F,連接 AF 并延長至點(diǎn) G,使 FG=AF,連接 CG、C′G,得到四邊形 ACGC′, 發(fā)現(xiàn)它是正方形,請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.
實(shí)踐探究:
(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,進(jìn)行如下操作:將△ABC 沿著 BD 方向平移,使點(diǎn) B 與點(diǎn) A 重合,此時(shí) A 點(diǎn)平移至 A'點(diǎn),A'C 與 BC′相交于點(diǎn) H, 如圖 4 所示,連接 CC′,試求 tan∠C′CH 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=3,M是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與D點(diǎn)重合),點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱,連接AE,ME,延長CB到點(diǎn)F,使得BF=DM,連接EF,AF.
(1)依題意補(bǔ)全圖1;
(2)若DM=1,求線段EF的長;
(3)當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),能使△AEF為等腰三角形,直接寫出此時(shí)tan∠DAM的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,EB是的直徑,且,在BE的延長線上取點(diǎn)P,使,A是EP上一點(diǎn),過A作的切線,切點(diǎn)為D,過D作于F,過B作AD的垂線BH,交AD的延長線于當(dāng)點(diǎn)A在EP上運(yùn)動(dòng),不與E重合時(shí):
是否總有,試證明你的結(jié)論;
設(shè),,求y和x的函數(shù)關(guān)系,并寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的方程,
(1)求證:無論k取任何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若等腰三角形ABC的一邊長a=1,兩個(gè)邊長b,c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求△ABC的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種洗衣機(jī)在洗滌衣服時(shí),經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)的過程,其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量y(升)與時(shí)間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖所示.已知:洗衣機(jī)的排水速度為每分鐘20升.
(1)求排水時(shí)y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)洗衣機(jī)中的水量到達(dá)某一水位后,過13.7分鐘又到達(dá)該水位,求該水位為多少升.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了創(chuàng)建“最美校園圖書屋”,新購買了一批圖書,其中科普類圖書平均每本書的價(jià)格是文學(xué)類圖書平均每本書價(jià)格的1.2倍.已知學(xué)校用12000元購買文學(xué)類圖書的本數(shù)比用這些錢購買科普類圖書的本數(shù)多100本,那么學(xué)校購買文學(xué)類圖書平均每本書的價(jià)格是多少元?設(shè)學(xué)校購買文學(xué)類圖書平均每本書的價(jià)格是x元,則下面所列方程中正確的是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解九年級(jí)學(xué)生體育測試成績情況,以九年(1)班學(xué)生的體育測試成績?yōu)闃颖,?/span>A、B、C、D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:(說明:A級(jí):90分﹣100分;B級(jí):75分﹣89分;C級(jí):60分﹣74分;D級(jí):60分以下)
(1)求出D級(jí)學(xué)生的人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比;
(2)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中C級(jí)所在的扇形圓心角的度數(shù);
(3)該班學(xué)生體育測試成績的中位數(shù)落在哪個(gè)等級(jí)內(nèi);
(4)若該校九年級(jí)學(xué)生共有500人,請(qǐng)你估計(jì)這次考試中A級(jí)和B級(jí)的學(xué)生共有多少人?
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