【題目】如圖,已知,為線段上的一個動點,分別以,為邊在的同側(cè)作菱形和菱形.點,,在一條直線上,,、分別是對角線、的中點.當(dāng)點在線段上移動時,點、之間的距離最短為_______.
【答案】
【解析】
連接PM、PN,根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠CAP=30°,∠MPC=∠CPA=60°,∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°,從而求出∠MPN=90°,設(shè)AP=x,則PB=2a-x,然后利用銳角三角函數(shù)求出PM和PN,然后利用勾股定理求出MN2與x的函數(shù)關(guān)系式,化為頂點式即可求出MN2的最小值,從而求出結(jié)論.
解:連接PM、PN
∵四邊形和四邊形為菱形,
∴∠CPA=180°-∠DAP=120°,∠EPB=∠DAP=60°,PM⊥AC,PN⊥EB,AC平分∠DAP,PM平分∠APC,PN平分∠EPB
∴∠CAP=30°,∠MPC=∠CPA=60°,∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°
∴∠MPN=∠MPC+∠EPN=90°
設(shè)AP=x,則PB=2a-x
∴PM=AP·sin∠CAP=,PN=PB·cos∠BPN=(2a-x)
在Rt△MON中
MN2= PM2+PN2=+(2a-x)2=(x-a)2+a2
當(dāng)x=a時,MN2取最小值,最小為a2
∴MN的最小值為
故答案為:.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點,直線AB分別與y軸,x軸交于A(0,4),B(3,0)兩點.
(1)尺規(guī)作圖:在x軸上求作一點C,使得△ABC是以為頂角的等腰三角形,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,求點C的坐標(biāo).
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【題目】如圖,點E是矩形ABCD的邊AD的中點,且BE⊥AC于點F,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.AF=CF
B.∠DCF=∠DFC
C.圖中與△AEF相似的三角形共有5個
D.tan∠CAD=
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【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)y=ax2+bx﹣3過A(1,0)、B(3,0)、C三點.
(1)求拋物線解析式;
(2)如圖1,點P是BC上方拋物線上一點,作PQ∥y軸交BC于Q點.請問是否存在點P使得△BPQ為等腰三角形?若存在,請直接寫出P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,連接AC,點D是線段AB上一點,作DE∥BC交AC于E點,連接BE.若△BDE∽△CEB,求D點坐標(biāo).
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【題目】如圖,拋物線與x軸相交于點A(﹣3,0)、點B(1,0),與y軸交于點C(0,3),點D是拋物線上一動點,聯(lián)結(jié)OD交線段AC于點E.
(1)求這條拋物線的解析式,并寫出頂點坐標(biāo);
(2)求∠ACB的正切值;
(3)當(dāng)△AOE與△ABC相似時,求點D的坐標(biāo).
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【題目】某商家在購進(jìn)一款產(chǎn)品時,由于運輸成本及產(chǎn)品成本的提高,該產(chǎn)品第 x 天的成本 y(元/件)與 x(天)之間的關(guān)系如圖所示,并連續(xù) 60 天均以 80 元/件的價格出售, 第 x 天該產(chǎn)品的銷售量 z(件)與 x(天)滿足關(guān)系式 z=x+15.
(1)第 25 天,該商家的成本是 元,獲得的利潤是 元;
(2)設(shè)第 x 天該商家出售該產(chǎn)品的利潤為 w 元.
①求 w 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式;
②求出第幾天的利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】在矩形ABCD中,點A關(guān)于角B的角平分線的對稱點為E,點E關(guān)于角C的角平分線的對稱點為F,若AD=AB=3,則S△ADF=( )
A.2B.3C.D.
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【題目】如圖,反比例函數(shù) 的圖象與正比例函數(shù) 的圖象相交于(1,),兩點,點在第四象限,∥ 軸,.
(1)求的值及點的坐標(biāo);
(2)求的值.
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【題目】如圖,點I是Rt△ABC的內(nèi)心,∠C=90°,AC=3,BC=4,將∠ACB平移使其頂點C與I重合,兩邊分別交AB于D、E,則△IDE的周長為( 。
A.3B.4C.5D.7
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