Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝x與一次函數(shù)y＝﹣x+7的圖象交于點(diǎn)A，x軸上有一點(diǎn)P(a，0)．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）若△OAP為等腰三角形，則a＝　 　；

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線（垂線位于點(diǎn)A的右側(cè)）、分別交y＝x和y＝﹣x+7的圖象于點(diǎn)B、C，連接OC．若BC＝OA，求△OBC的面積．

Answer 1

【答案】（1）A(4，3)；（2）±5或8或；（3）28

【解析】

（1）點(diǎn)A是兩直線的交點(diǎn),其坐標(biāo)即方程組的解；

（2）分OA＝PO、OA＝AP、AP＝OP適中情況，分別求解即可；

（3）P（a，0），則分別用含a的式子表示出B、C的坐標(biāo)，從而表示出BC的長(zhǎng)度，用勾股定理求得OA，然后根據(jù)BC＝OA求出a的值，從而利用三角形面積公式求解．

解：（1）由題意：解得： ，

故點(diǎn)A（4，3）；

（2）點(diǎn)A（4，3），則OA＝，

①當(dāng)OA＝PO=P1O時(shí)，

此時(shí)OA＝5＝PO=P1O，即a＝±5

②當(dāng)OA＝AP時(shí)，如圖，過點(diǎn)A做AM⊥x軸于點(diǎn)M

此時(shí)OM=MP=4

∴OP=8

則點(diǎn)P（8，0），即a＝8；

③當(dāng)AP＝OP時(shí)，如圖所示，連接AP，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，

AP＝PO＝a，則PH＝4﹣a，則（4﹣a）2+9＝a2，

解得：a＝；

綜上，a＝±5或8或；

故答案為：±5或8或；

（3）∵P（a，0），則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（a，a）、（a，﹣a+7），

∴BC=a-（-a+7）=a+a﹣7=

又∵BC＝OA且OA＝

∴＝×5＝7，

解得：a＝8，

故點(diǎn)P（8，0），即OP＝8；

△OBC的面積＝×BC×OP＝×7×8＝28．