Question

【題目】如圖，在四邊形中，、為對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)、、、分別為、、、邊的中點(diǎn)，下列說(shuō)法：

①當(dāng)時(shí)，、、、四點(diǎn)共圓．

②當(dāng)時(shí)，、、、四點(diǎn)共圓．

③當(dāng)且時(shí)，、、、四點(diǎn)共圓．

其中正確的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點(diǎn)O，利用三角形中位線(xiàn)定理可證到四邊形ENFM是平行四邊形；然后根據(jù)條件判定四邊形ENFM的形狀，就可知道M、E、N、F四點(diǎn)是否共圓．

解：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點(diǎn)O，如圖所示．

∵點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，

∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC．

∴四邊形ENFM是平行四邊形．

①當(dāng)AC=BD時(shí)，

則有EM=EN，

所以平行四邊形ENFM是菱形．

而菱形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定共圓，

故①不一定正確．

②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，

由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°．

所以平行四邊形ENFM是矩形．

則有OE=ON=OF=OM．

所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓，

故②正確．

③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，

同理可得：四邊形ENFM是正方形．

則有OE=ON=OF=OM

所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓，

故③正確．

故選：C．