Question

如圖①，已知：四邊形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），B點(diǎn)在x軸的正半軸上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-4），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，依次沿線段OA、AB、BC向點(diǎn)C移動(dòng)．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路徑為Z，△POC的面積S隨著Z的變化而變化的圖象如圖②所示（其中線段DE∥x軸）．

（1）請(qǐng)你確定B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P是經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、B的拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，
①求此拋物線的解析式；
②在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△PBM與△OBC相似？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CQ⊥x軸于Q點(diǎn)，根據(jù)圖（2）可以得到：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，三角形POC的面積等于三角形BOC的面積，并由此得到線段OB的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）利用拋物線經(jīng)過(guò)O、B點(diǎn)，求得拋物線的對(duì)稱軸，由此得到對(duì)稱軸必與邊AB相交，并由此得到拋物線的解析式，令x=

9

2

求得y的值后即可得到拋物的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式即可；

解答：（1）解：過(guò)C作CQ⊥x軸于Q點(diǎn)，
由圖（2）得：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，
∵S△POC=S△BOC=18=

1

2

•OB•CQ，
即18=

1

2

•OB•4∴OB=9∴B坐標(biāo)(9，0)，

（2）①拋物線經(jīng)過(guò)O、B點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=

9

2

，
∴對(duì)稱軸必與邊AB相交，
由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)在直線AB上且也在對(duì)稱軸上，
設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，
則可得方程

k+b=4 9k+b=0

，
得

k=- 1 2 b= 9 2

，
∴y=-

1

2

x+

9

2

，
又由方程組

y=- 1 2 x+ 9 2 x= 9 2

，
解之得

x= 9 2 y= 9 4

，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

9

2

，

9

4

)，
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-

9

2

)2+

9

4

，
把點(diǎn)O的坐標(biāo)代入y=a(x-

9

2

)2+

9

4

得，a=-

1

9

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

9

(x-

9

2

)2+

9

4

=-

1

9

x2+x，
②設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M．使△PBM與△OBC相似，
∵∠PBM=∠COB，BP=

( 9 2 )2+( 9 4 )2

=

9

4

5

，OC=

82+42

=4

5

，
∴(i)當(dāng)

BP

OB

=

BM

OC

時(shí)，△PBM△OBC 即

9 4 5

9

=

BM

4 5

，BM=5，
∴M（4，0），
∴(ii)當(dāng)

BP

OC

=

BM

OB

時(shí)，△PBC∽△COB，
即

9 4 5

4 5

=

BM

9

，BM=

81

16

，
∴M(

63

16

，0)，
所以在x軸上存在點(diǎn)M（4，0）和(

63

16

，0) 使△PBM∽△OBC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，通過(guò)已知點(diǎn)來(lái)確定函數(shù)式，和通過(guò)相似三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，以及通過(guò)函數(shù)式和取值范圍求得最大值．