【題目】如圖,拋物線y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3(a>0)和y2=a(x+1)2﹣1(a>0)的頂點分別為M、N,與y軸分別交于E、F.

(1)①函數(shù)y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3(a>0)的最大值是;
②當(dāng)y1、y2的值都隨x的增大而增大時,自變量x的取值范圍是
(2)當(dāng)EF=MN時,求a值,并判斷四邊形EMFN是何種特殊的四邊形;
(3)若y2=a(x+1)2﹣1(a>0)的圖象與x軸的右交點為A(m,0),當(dāng)△AMN為等腰三角形時,求方程a(x+1)2﹣1=0的解.

【答案】
(1)-3;﹣1≤x≤1
(2)

解:∵y1=﹣a(x﹣1)2﹣3,y2=a(x+1)2﹣1,

∴N(﹣1,﹣1),M(1,﹣3).

由兩點間的距離公式可知:MN=2

令x=0得:y1=﹣a﹣3,y2=a﹣1.

∴F(0,a﹣1),E(0,﹣a﹣3).

∴EF=2a+2.

∵EF=MN,

∴2a+2=2 ,解得:a= ﹣1.

作NC⊥y軸于C,MD⊥y軸于D

∴NC=1,F(xiàn)C=a,MD=1,DE=a

∵在Rt△CNF和Rt△MDE中, ,

∴△NCF≌MDE.

∴NF=EM,∠NFC=∠DEM

∴NF‖EM

∴四邊形EMFN是平行四邊形

又∵NM=EF

∴四邊形EMFN是矩形


(3)

解:∵A(m,0)M(1,﹣3)N(﹣1,﹣1),

∴AN2=m2+2m+2,AM2=m2﹣2m+10,MN2=8.

①若AN=AM,則m2+2m+2=m2﹣2m+10,解得:m=2,

∴方程a(x+1)2﹣1=0的一個解為x=2,

根據(jù)拋物線對稱性,可知方程的另一個解為x=﹣4.

②若AN=MN,則m2+2m+2=8,解得:m=﹣1+ 或m=﹣1﹣ (舍去),

所以方程a(x+1)2﹣1=0的一個解為x=﹣1+ ,

根據(jù)拋物線對稱性,可知方程的另一個解為x=﹣1﹣

③若AM=MN,所以m2﹣2m+10=8,

此方程無解,所以此種情況不成立

綜上所述當(dāng)△AMN為等腰三角形時,方程a(x+1)2﹣1=0的解為x1=2,x2=﹣4或x1=﹣1 或x2=﹣1﹣


【解析】解:(1)①y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3=﹣a(x2﹣2x+1)﹣3=﹣a(x﹣1)2﹣3,
∴函數(shù)y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3(a>0)的最大值是﹣3.
所以答案是:﹣3.
②∵y1=﹣a(x﹣1)2﹣3,﹣a<0,
∴當(dāng)x≤1時,y隨x的增大而增大.
∵y2=a(x+1)2﹣1(a>0),
∴當(dāng)x≥﹣1時,y隨x的增大而增大.
∴當(dāng)﹣1≤x≤1時,y1、y2的值都隨x的增大而增大.
【考點精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的最值對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù);如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】為了解某市市民“綠色出行”方式的情況,某校數(shù)學(xué)興趣小組以問卷調(diào)查的形式,隨機調(diào)查了某市部分出行市民的主要出行方式(參與問卷調(diào)查的市民都只從以下五個種類中選擇一類),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.

種類

A

B

C

D

E

出行方式

共享單車

步行

公交車

的士

私家車

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

(1)參與本次問卷調(diào)查的市民共有 人,其中選擇B類的人數(shù)有 人;

(2)在扇形統(tǒng)計圖中,求A類對應(yīng)扇形圓心角α的度數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;

(3)該市約有12萬人出行,若將A,B,C這三類出行方式均視為“綠色出行”方式,請估計該市“綠色出行”方式的人數(shù).

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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,點D是AB邊上的點, = ,點P為底邊BC上的一動點,則△PDA周長的最小值為

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【題目】已知ABCD中,AD=2AB,F(xiàn)BC的中點,作AE⊥CD,垂足E在線段CD上,連結(jié)EF、AF,下列結(jié)論:①2∠BAF=∠BAD;②EF=AF;③SABF≤SAEF;④∠BFE=3∠CEF.中一定成立的是(  )

A. ①②④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②③④

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【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=5,AB=8,點E為射線DC上的一個動點,把△ADE沿AE折疊點.D的對應(yīng)點為D′.
(1)求點D′剛好落在對角線AC上時,D′C的長;
(2)求點D′剛好落在此對稱軸上時,線段DE的長.

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【題目】按要求解答下列各題

(1)已知a、b 互為相反數(shù),c、d 互為倒數(shù),x=(-2)2。

試求x2 -(a + b + c×d) x +(a + b)2015 +(-c×d)2016的值。

(2)已知有理數(shù)a、b、c 滿足|a-1|+|b-3|+|3c-1|=0,(a×b×c)178 ÷(a36×b7×c6)的值。

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,點P是直線EF、GH之間任意一點,連接PE、PF、PG、PH,則PEF和PGH的面積和等于.

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【題目】隨著北京公交票制票價調(diào)整,公交集團(tuán)換成了新版公交站牌,乘客在乘車時可以通過新版公交站牌計算乘車費用.新版公交站牌每一個站名上方都有一個對應(yīng)的數(shù),將上下車站站名所對應(yīng)數(shù)相減取絕對值就是乘車路程,再按照其所在計價區(qū)段,參照票制規(guī)則計算票價.具體內(nèi)容如下:

   乘車路程計價區(qū)段

0~10

11~15

16~20

對應(yīng)票價()

2

3

4

另外,一卡通普通卡刷卡實行五折優(yōu)惠,學(xué)生卡實行二五折優(yōu)惠.小明用學(xué)生卡乘車,上車時站名上對應(yīng)的數(shù)是5,下車時站名上對應(yīng)的數(shù)是22,那么小明乘車的費用是_____.

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【題目】在一次中學(xué)生田徑運動會上,根據(jù)參加男子跳高初賽的運動員的成績(單位:m),繪制出如下的統(tǒng)計圖和圖,請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:

)圖1中a的值為 ;

)求統(tǒng)計的這組初賽成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);

)根據(jù)這組初賽成績,由高到低確定9人進(jìn)入復(fù)賽,請直接寫出初賽成績?yōu)?.65m的運動員能否進(jìn)入復(fù)賽.

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