【題目】如圖1,正方形ABCD的邊長為4,把三角板的直角頂點放置BC中點E處,三角板繞點E旋轉(zhuǎn),三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F.

(1)求證:△GBE∽△GEF.

(2)設(shè)AG=x,GF=y,求Y關(guān)于X的函數(shù)表達式,并寫出自變量取值范圍.

(3)如圖2,連接ACGF于點Q,交EF于點P.當△AGQ與△CEP相似,求線段AG的長.

【答案】(1)見解析;(2)y=4﹣x+(0x3);(3)當△AGQ與△CEP相似,線段AG的長為24﹣

【解析】

(1)先判斷出△BEF'≌△CEF,得出BF'=CF,EF'=EF,進而得出∠BGE=∠EGF,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出△BEG∽△CFE進而得出CF=

,即可得出結(jié)論;
(3)分兩種情況,①△AGQ∽△CEP時,判斷出BGE=60°,即可求出BG;
②△AGQ∽△CPE時,判斷出EGAC,進而得出△BEG∽△BCA即可得出BG,即可得出結(jié)論.

(1)如圖1,延長FEAB的延長線于F',

∵點EBC的中點,

∴BE=CE=2,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB∥CD,

∴∠F'=∠CFE,

在△BEF'和△CEF中,

,

∴△BEF'≌△CEF,

∴BF'=CF,EF'=EF,

∵∠GEF=90°,

∴GF'=GF,

∴∠BGE=∠EGF,

∵∠GBE=∠GEF=90°,

∴△GBE∽△GEF;

(2)∵∠FEG=90°,

∴∠BEG+∠CEF=90°,

∵∠BEG+∠BGE=90°,

∴∠BGE=∠CEF,

∵∠EBG=∠C=90°,

∴△BEG∽△CFE,

由(1)知,BE=CE=2,

∵AG=x,

∴BG=4﹣x,

∴CF=,

由(1)知,BF'=CF=,

由(1)知,GF'=GF=y,

∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+

CF=4時,即:=4,

∴x=3,(0≤x≤3),

即:y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=4﹣x+(0≤x≤3);

(3)∵AC是正方形ABCD的對角線,

∴∠BAC=∠BCA=45°,

∵△AGQ與△CEP相似,

∴①△AGQ∽△CEP,

∴∠AGQ=∠CEP,

由(2)知,∠CEP=∠BGE,

∴∠AGQ=∠BGE,

由(1)知,∠BGE=∠FGE,

∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE,

∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°,

∴∠BGE=60°,

∴∠BEG=30°,

Rt△BEG中,BE=2,

∴BG=

∴AG=AB﹣BG=4﹣,

②△AGQ∽△CPE,

∴∠AQG=∠CEP,

∵∠CEP=∠BGE=∠FGE,

∴∠AQG=∠FGE,

∴EG∥AC,

∴△BEG∽△BCA,

,

∴BG=2,

∴AG=AB﹣BG=2,

即:當△AGQ與△CEP相似,線段AG的長為24﹣

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,AH是圓O的直徑,AE平分FAH,交O于點E,過點E的直線FGAF,垂足為F,B為直徑OH上一點,點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上.

(1)求證:直線FG是O的切線;

(2)若AD=8,EB=5,求O的直徑.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,其對稱軸x=﹣1,給出下列結(jié)果①b2>4acabc>02a+b=0a+b+c>0a﹣b+c<0,則正確的結(jié)論的個數(shù)為( 。

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】己知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、兩點,將這條直線進行平移后交軸、軸分別交于,要使點、、構(gòu)成的四邊形面積為4,則直線的解析式為__________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知⊙O的半徑為5,弦AB=6,PAB上任意一點,點C是劣弧的中點,若POC為直角三角形,則PB的長度(  )

A. 1 B. 5 C. 15 D. 24

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,tan∠BAC=2,A(0,a),B(b,0),點C在第二象限,BCy軸交于點D(0,c),若y軸平分∠BAC,則點C的坐標不能表示為(  )

A. (b+2a,2b) B. (﹣b﹣2c,2b)

C. (﹣b﹣c,﹣2a﹣2c) D. (a﹣c,﹣2a﹣2c)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,∠C=90°, B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB,AC于點MN,又分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連結(jié)AP并延長交BC于點D

求證:(1)點DAB的中垂線上.

2)當CD=2時,求ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】電影《厲害了,我的國》震撼上演后,引起了大家的強烈共鳴,當復(fù)興號一幕又一幕的奔馳在祖國廣袤的大地上,中國高鐵的車輪快速的滾出了嶄新中國的新畫卷.中國高鐵的飛速發(fā)展,使越來越多的人選擇高鐵出行.為了保證市民出行方便,某市的高鐵站出入口與地鐵站出入口進行對接.已知某人沿著坡角為30°的樓梯ABA行至B,后沿BC路線上斜坡CD,坡角為30°,再行走一段距離DE,到達高鐵入口處.若入口處樓梯EF的坡角為45°,DE∥BC∥AF,AB=20米,CD=4米,那么EF的長度是多少米?(保留0.1米)(≈1.414)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】新園小區(qū)計劃在一塊長為20米,寬12米的矩形場地上修建三條互相垂直的長方形甬路(一條橫向、兩條縱向,且橫向、縱向的寬度比為3:2),其余部分種花草.若要使種花草的面積達到1442.則橫向的甬路寬為_____米.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案