【題目】將拋物線向左平移2個單位，再向上平移4個單位得到一個新的拋物線．

（1）求新的拋物線的解析式．

（2）過作直線，使得直線與新的拋物線僅有一個公共點，求直線的解析式及相應公共點的坐標．

（3）請猜想在新的拋物線上是否有且僅有四個點、、、使得、、、分別與（2）中的所有公共點所圍成的圖形的面積均為S？若有，請求出S并直接寫出、、、的坐標，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）l的解析式為：y=x+2；y=3x-6，x=2；直線y=-x+2與拋物線有唯一公共點A（-2,4）直線y=3x-6與拋物線有唯一公共點B（6,12）直線x=2 與拋物線有唯一公共點C(2，4) ；（3）S=18,P1為（0,3），P2為（4,7），P3為（,），P4為（,）.

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)平移的特點即可求解；

（2）設直線l的解析式為：y=kx+b,把M代入，再與二次函數(shù)聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解；

（3）由AB、BC、AC將拋物線分為三個部分，對于任意S在AB上方的拋物線上必存在兩個P點，①當P在AC下方的拋物線上時，求出此時=2，,②當P在BC下方的拋物線上時，設P為 ，D為（t，2t），得到，利用求出S的最大值也為2，故當P點在直線AB上方時，與A,C圍成的面積也為2，故可得到P到AC的距離為1，根據(jù)直線AB的解析式特點可知將

直線AB向上平移個單位即可滿足要求，得到平移后的解析式，再聯(lián)立拋物線即可出P3,P4的坐標.

解：（1）∵

∴把函數(shù)向左平移2個單位，向上平移4個單位后拋物線的頂點為（0,3），

∴新的拋物線的解析式為，

（2）解： 設直線l的解析式為：y=kx+b,將M（2,0）代入得

∴

∴直線l為

又直線與新的拋物線僅有一個公共點，

∴只有一個解，

化簡得

∴

解得：，

當時，直線l為

由解得

∴A（-2，4）

當時，直線l為

由解得

∴B（6，12）

過點M（2,0）作直線l⊥x軸，交拋物線于C點，則直線l為x=2,

公共點C為（2,4），

綜上所述：直線y=-x+2與拋物線有唯一公共點A（-2,4）

直線y=3x-6與拋物線有唯一公共點B（6,12）

直線x=2 與拋物線有唯一公共點C(2，4)

（3）在新的拋物線上有且僅有四個點P1、P2、P3、P4使其分別與（2）中的所有公共點A、B、C所圍成的四邊形面積均為S.

∵AB、BC、AC將拋物線分為三個部分，對于任意S在AB上方的拋物線上必存在兩個P點.

①當P在AC下方的拋物線上時

∵AC∥x軸，

∴當P為（0,3），

②當P在BC下方的拋物線上時

設P為由待定系數(shù)法得BC:y=2x

作PD//y軸交BC于D，則D為（t，2t）

∴

∴

∵它是一個開口向下，頂點為（4，2）的拋物線

∴當P為（4，7）時，

∴

∴

此時

∵A（-2,4），B（6,12）

∴求得AB解析式為，

∵A、B兩點的橫坐標之差的絕對值為8，A、C兩點的橫坐標之差的絕對值為4，P到AC的距離為1.

∴將直線AB向上平移個單位得

l交拋物線于和兩點

由，解得，

綜上，S=18,P1為（0,3），P2為（4,7），P3為（,），P4為（,）.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在直角坐標系中，點，點，過點的直線垂直于線段，點是直線上在第一象限內(nèi)的一動點，過點作軸，垂足為，把沿翻折，使點落在點處，若以，，為頂點的三角形與△ABP相似，則滿足此條件的點的坐標為__________．

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【題目】探究問題：

⑴方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．

感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵∠EAF=45°

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠_________．

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_______．

∴_________=EF，故DE+BF=EF．

⑵方法遷移：

如圖②，將沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．

⑶問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC,BC上的點，滿足,試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）

．

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【題目】臨近端午，某超市準備購進某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黃粽，三種品種的粽子共1000袋（每袋均為同一品種的粽子），其中白粽每袋12個，豆沙粽每袋8個，蛋黃粽每袋6個．為了推廣，超市還計劃將三個品種的粽子各取出來，拆開后重新組合包裝，制成A、B兩種套裝進行特價銷售：A套裝為每袋白粽4個，豆沙粽4個；B套裝為每袋白粽4個，蛋黃粽2個，取出的袋數(shù)和套裝的袋數(shù)均為正整數(shù)．若蛋黃粽的進貨量不低于總進貨量的，則豆沙粽最多購進__袋．

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A.B.C.D.

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（1）設P（，）、R（，），求直線OM對應的函數(shù)表達式（用含，的代數(shù)式表示）；

（2）分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB；

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A.B.C.D.

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