【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.點D是AB中點,點E為邊AC上一點,連接CD,DE,以DE為邊在DE的左側(cè)作等邊三角形DEF,連接BF.

(1)△BCD的形狀為;
(2)隨著點E位置的變化,∠DBF的度數(shù)是否變化?并結(jié)合圖說明你的理由;
(3)當(dāng)點F落在邊AC上時,若AC=6,請直接寫出DE的長.

【答案】
(1)等邊三角形
(2)解:∠DBF的度數(shù)不變,理由如下:

∵∠ACB=90°,點D是AB中點,

∴CD= AB=AD,

∴∠ECD=30°.

∵△BDC為等邊三角形,

∴BD=DC,∠BDC=60°.

又∵△DEF為等邊三角形,

∴DF=DE,∠FDE=60°,

∴∠BDF+∠FDC=∠EDC+∠FDC=60°,

∴∠BDF=∠CDE.

在△BDF和△CDE中, ,

∴△BDF≌△CDE(SAS),

∴∠DBF=∠DCE=30°,

即∠DBF的度數(shù)不變


(3)解:過點E作EM⊥AB于點M,如圖所示.

在Rt△ABC中,∠A=30°,AC=6,

∴AB=2BC,AC= = BC=6,

∴BC=2 ,AB=4

∵△DEF為等邊三角形,

∴∠DEF=60°,

∵∠A=30°,

∴∠ADE=30°,

∴DE=AE,

∴AM= AD= × AB=

在Rt△AME中,∠A=30°,AM= ,

∴AE=2EM,AM= = EM,

∴EM=1,AE=2,

∴DE=2.


【解析】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,

∴AB=2BC,∠CBD=60°.

∵點D是AB中點,

∴BD=BC,

∴△BCD為等邊三角形.

所以答案是:等邊三角形.

【考點精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形是解答本題的根本,需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°;在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

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A.
B.
C.
D.

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