【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+1經(jīng)過點A(4,﹣3),頂點為點B,點P為拋物線上的一個動點,l是過點(0,2)且垂直于y軸的直線,過P作PH⊥l,垂足為H,連接PO.

(1)求拋物線的解析式,并寫出其頂點B的坐標(biāo);

(2)①當(dāng)P點運動到A點處時,計算:PO= ,PH= ,由此發(fā)現(xiàn),PO PH(填“>”、“<”或“=”);

②當(dāng)P點在拋物線上運動時,猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

(3)如圖2,設(shè)點C(1,﹣2),問是否存在點P,使得以P,O,H為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為y=x2+1,頂點B(0,1);(2)5,5,=;結(jié)論:PO=PH,理由詳見解析;(3)點P坐標(biāo)(1,)或(1,).

【解析】

試題分析:(1)把A點的坐標(biāo)代入y=ax2+1求得a值,即可得函數(shù)解析式,根據(jù)解析式確定頂點坐標(biāo)即可;(2)求出PO、PH即可得結(jié)論;結(jié)論:PO=PH.設(shè)點P坐標(biāo)(m,m2+1),根據(jù)兩點之間距離公式分別求得PH、PO長,即可得結(jié)論.(3)首先判斷PH與BC,PO與AC是對應(yīng)邊,設(shè)點P(m,m2+1),由列出方程即可解決問題.

試題解析:(1)解:拋物線y=ax2+1經(jīng)過點A(4,3),

∴﹣3=16a+1,

a=,

拋物線解析式為y=x2+1,頂點B(0,1).

(2)當(dāng)P點運動到A點處時,PO=5,PH=5,

PO=PH,

結(jié)論:PO=PH.

理由:設(shè)點P坐標(biāo)(m,m2+1),

PH=2m2+1)=m2+1

PO==m2+1,

PO=PH.

(3)BC=,AC=,AB=,

BC=AC,

PO=PH,

以P,O,H為頂點的三角形與ABC相似,

PH與BC,PO與AC是對應(yīng)邊,

,設(shè)點P(m,m2+1),

,

解得m=±1,

點P坐標(biāo)(1,)或(1,).

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(1)函數(shù)的自變量的取值范圍是____;

2)下表是的幾組對應(yīng)值,請直接寫出m的值,

-3

-1.5

-1

0

0.6

1.4

1.5

2

3

3.5

5

0.5

0.2

0

-1

-3

-4

6

5

3

2

1.8

1.5

(3)請在平面直角坐標(biāo)系xoy中,描出以上表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點,并畫出該函數(shù)的圖象.

(4)結(jié)合函數(shù)圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì):

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2A=60°,DF=,求O的直徑BC的長。

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A. (11) B. (5,3) C. (5,1) D. (1,3)

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無錫與北京之間的火車票和飛機票價如下:火車 (高鐵二等座) 全票524元,身高1.1~1.5米的兒童享受半價票;飛機 (普通艙) 全票1240元,已滿2周歲未滿12周歲的兒童享受半價票.他們往北京的開支預(yù)計如下:

住宿費

(2人一間的標(biāo)準間)

伙食費

市內(nèi)交通費

旅游景點門票費

(身高超過1.2米全票)

每間每天x

每人每天100元

每人每天y

每人每天120元

假設(shè)他們四人在北京的住宿費剛好等于上表所示其他三項費用之和,7月31日和8月5日合計按一天計算,不參觀景點,但產(chǎn)生住宿、伙食、市內(nèi)交通三項費用.

(1)他們往返都坐火車,結(jié)算下來本次旅游總共開支了13668元,求x,y的值;

(2)若去時坐火車,回來坐飛機,且飛機成人票打五五折,其他開支不變,他們準備了14000元,是否夠用? 如果不夠,他們準備不再增加開支,而是壓縮住宿的費用,請問他們預(yù)定的標(biāo)準間房價每天不能超過多少元?

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