【題目】如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC⊥BC,∠BAC=30°,BC=2,在AB邊的下方作射線AG,使得∠BAG=30°,E為線段DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在射線AG上取一點(diǎn)P,連接BP,使得∠EBP=60°,連接EP交AC于點(diǎn)F,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)∠BPE=60°時(shí),則AF=_____.
【答案】
【解析】
如圖,連接PC交AB于T,作PN⊥AB于N,CM⊥PC交PE的延長線于M.首先證明∠APC=90°,解直角三角形求出AC,PA,利用相似三角形的性質(zhì)求出CM,由CM∥PA,推出,由此即可解決問題.
解:如圖,連接PC交AB于T,作PN⊥AB于N,CM⊥PC交PE的延長線于M.
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∵BC=,∠BAC=30°,
∴AB=2BC=,AC=BC=6,∠ABC=60°,
∵∠EPB=∠EBP=60°,
∴△EPB是等邊三角形,
∴∠PEB=60°,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,
∴∠BCE=180°﹣∠ABC=120°,
∴∠EPB+∠BCE=180°,
∴P,B,C,E四點(diǎn)共圓,
∴∠PCB=∠PEB=60°,∠MPC=∠EBC,
∵∠TCB=∠CBT=60°
∴△TCB是等邊三角形,
∴∠BCT=60°,∠ACT=30°,BT=BC=AT=,
∵∠BAG=∠BAC=30°,
∴∠APC=90°,
∴PA=ATcos30°=3,AN=PAcos30°=,PN=PA=,PC=PA=,
∴BN=AB﹣AN=,
∵∠PBE=∠CBT=60°,
∴∠PBN=∠CBE=∠CPM,
∵∠PCM=∠PNB=90°,
∴△PCM∽△BNP,
∴,
∴,
∴CM=,
∵PA⊥PC,CM⊥PC,
∴CM∥PA,
∴,
∴AF=AC=.
故答案為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班甲、乙、丙、丁四位同學(xué)周一到周四輪流值日.
(1)若每個(gè)同學(xué)只隨機(jī)值日一天,則甲恰好在周一值日的概率是多少?
(2)若每兩個(gè)同學(xué)為一組,四位同學(xué)被分成兩組.
①甲分在第一組的概率為
②求甲、乙同時(shí)分在第一組的概率為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視機(jī)廠要印制產(chǎn)品宣傳材料甲印刷廠提出:每份材料收1元印制費(fèi),另需收取所有印制材料的制版費(fèi)1500元;乙印刷廠提出:每份材料收2.5元印制費(fèi),不收制版費(fèi).設(shè)該電視廠在同一個(gè)印刷廠一次印的數(shù)量為份.
(1)根據(jù)題意填表:
一次印制數(shù)量(份) | 300 | 500 | 1500 | … |
甲印刷廠花費(fèi)(元) | 2000 | … | ||
乙印刷廠花費(fèi)(元) | 1250 | … |
(2)設(shè)在甲印刷廠花費(fèi)元,在乙印刷廠花費(fèi)元,分別求,關(guān)于的函數(shù)解析式;
(3)根據(jù)題意填空:
①若電視廠在甲印刷廠和在乙印刷廠一次印制宣傳材料的數(shù)量相同,且花費(fèi)相同,則該電視廠在同一個(gè)印刷廠一次印制材料的數(shù)量為 份;
②印制800份宣傳材料時(shí),選擇 印刷廠比較合算;
③電視機(jī)廠擬拿出3000元用于印制宣傳材料,在 印刷廠印制宣傳材料可以多一些.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列內(nèi)容,并解決問題.
一道習(xí)題引發(fā)的思考
小明在學(xué)習(xí)《勾股定理》一章內(nèi)容時(shí),遇到了一個(gè)習(xí)題,并對(duì)有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究;
習(xí)題再現(xiàn):
古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出,如果表示大于1的整數(shù),,,,那么,,為勾股數(shù).你認(rèn)為對(duì)嗎?如果對(duì),你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎?
資料搜集:
定義:勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù).一般地,若三角形三邊長,,都是正整數(shù),且滿足,那么,,稱為一組勾股數(shù).
關(guān)于勾股數(shù)的研究:我囯西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了“勾三,股四,弦五”,這組數(shù)是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股效,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、我國數(shù)學(xué)家劉徽、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖都進(jìn)行過勾股數(shù)的研究.習(xí)題中的表達(dá)式是柏拉圖給出的勾股數(shù)公式,這個(gè)表達(dá)式未給出全部勾股數(shù),世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九幸算術(shù)),其勾股數(shù)公式為:,,,其中,,是互質(zhì)的奇數(shù).(注:,,的相同倍數(shù)組成的一組數(shù)也是勾股數(shù))
問題解答:
(1)根據(jù)柏拉圖的研究,當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出一組勾股數(shù);
(2)若表示大于1的整數(shù),試證明是一組勾股數(shù);
(3)請(qǐng)舉出一個(gè)反例(即寫出一組勾股數(shù)),說明柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出所有的勾股數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某校教學(xué)樓與實(shí)驗(yàn)樓的水平間距米,在實(shí)驗(yàn)樓頂部點(diǎn)測得教學(xué)樓頂部點(diǎn)的仰角是,底部點(diǎn)的俯角是,則教學(xué)樓的高度是____米(結(jié)果保留根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工程隊(duì)承接了60萬平方米的綠化工程,由于情況有變,…設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為萬平方米,列方程為,根據(jù)方程可知省路的部分是( )
A.實(shí)際每天的工作效率比原計(jì)劃提高了,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)
B.實(shí)際每天的工作效率比原計(jì)劃提高了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)
C.實(shí)際每天的工作效率比原計(jì)劃降低了,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)
D.實(shí)際每天的工作效率比原計(jì)劃降低了,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知拋物線與軸相交于點(diǎn),與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè),點(diǎn)的坐標(biāo)為,將線段沿軸的正方向平移個(gè)單位后得到線段.
(1)當(dāng)______時(shí),點(diǎn)或點(diǎn)正好移動(dòng)到拋物線上;
(2)當(dāng)點(diǎn)正好移動(dòng)到拋物線上,與相交于點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)是軸上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn),探索是否存在點(diǎn),使線段長度有最大值?若存在,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和長度的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在軸的正半軸上,且于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,連接.
(1)求證:是等邊三角形;
(2)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)平行于的直線從原點(diǎn)出發(fā),沿軸正方向平移.設(shè)直線被四邊形截得的線段長為,直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
①當(dāng)直線與軸的交點(diǎn)在線段上(交點(diǎn)不與點(diǎn)重合)時(shí),請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出自變量的取值范圍)
②若,請(qǐng)直接寫出此時(shí)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,學(xué)校環(huán)保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度,他們先在點(diǎn)C處測得樹頂B的仰角為60°,然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°,已知斜坡CD的長度為10m,DE的長為5m,則樹AB的高度是( 。m.
A.10B.15C.15D.15﹣5
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