【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線y=﹣ x2+ x+4經(jīng)過A、B兩點(diǎn).
(1)寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若一條與y軸重合的直線l以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移,分別交線段OA、CA和拋物線于點(diǎn)E、M和點(diǎn)P,連接PA、PB.設(shè)直線l移動(dòng)的時(shí)間為t(0<t<4)秒,求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出四邊形PBCA的最大面積;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAM是直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)
解:拋物線y=﹣ x2+ x+4中:
令x=0,y=4,則 B(0,4);
令y=0,0=﹣ x2+ x+4,解得 x1=﹣1、x2=8,則 A(8,0);
∴A(8,0)、B(0,4).
(2)
解:
△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,則OB=OC=4,∴C(0,﹣4).
由A(8,0)、B(0,4),得:直線AB:y=﹣ x+4;
依題意,知:OE=2t,即 E(2t,0);
∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴當(dāng)t=2時(shí),S有最大值,且最大值為64.
(3)
解:∵PM∥y軸,∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是銳角,所以△PAM若是直角三角形,只能是∠PAM=90°;
由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直線AC:y= x﹣4;
所以,直線AP可設(shè)為:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:
﹣16+h=0,h=16
∴直線AP:y=﹣2x+16,聯(lián)立拋物線的解析式,得:
,解得 、
∴存在符合條件的點(diǎn)P,且坐標(biāo)為(3,10).
【解析】(1)拋物線的解析式中,令x=0,能確定點(diǎn)B的坐標(biāo);令y=0,能確定點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分;△ABC的面積是定值,關(guān)鍵是求出△PBA的面積表達(dá)式;若設(shè)直線l與直線AB的交點(diǎn)為Q,先用t表示出線段PQ的長(zhǎng),而△PAB的面積可由( PQOA)求得,在求出S、t的函數(shù)關(guān)系式后,由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值.(3)△PAM中,∠APM是銳角,而PM∥y軸,∠AMP=∠ACO也不可能是直角,所以只有∠PAC是直角一種可能,即 直線AP、直線AC垂直,此時(shí)兩直線的斜率乘積為﹣1,先求出直線AC的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列方程變形正確的是( )
A. 方程3x-2=2x+1移項(xiàng),得3x-2x=-1+2
B. 方程3-x=2-5(x-1)去括號(hào),得3-x=2-5x-1
C. 方程=1可化為3x=6
D. 方程x=-系數(shù)化為1,得x=-1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,BD平分∠ABC,CE平分∠DCF,∠ACE=90°.
(1)判斷BD和CE的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)判斷AC和BD是否垂直,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生課外閱讀的情況,對(duì)學(xué)生“平均每天課外閱讀的時(shí)間”進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答以下問題:
(1)平均每天課外閱讀的時(shí)間為“0.5~1小時(shí)”部分的扇形圖的圓心角為多少度;
(2)本次一共調(diào)查了多少名學(xué)生;
(3)將條形圖補(bǔ)充完整;
(4)若該校有1680名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校有多少名學(xué)生平均每天課外閱讀的時(shí)間在0.5小時(shí)以下.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,⊙O過BC的中點(diǎn)D,且DE⊥AC于點(diǎn)E.
(1)試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若∠C=30°,CE=6,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定:小汽車在城市街道上行駛速度不得超過70 km/h.如圖,一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛,某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正前方30 m處,過了2 s后,測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為50 m,這輛小汽車超速了嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連結(jié)BP,并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D.
(1)試探究AB+BC+CA與2BD的大小關(guān)系;
(2)試探究AB+CA與PB+PC的大小關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)平面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,按照以下要求作圖:
①作直線AD;
②作射線CB交直線AD于點(diǎn)E;
③連接AC,BD交于點(diǎn)F;
(2)圖中共有 條線段;
(3)若圖中F是AC的一個(gè)三等分點(diǎn),AF<FC,已知線段AC上所有線段之和為18,求AF長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將紙片△ABC沿AD折疊,使點(diǎn)C剛好落在AB邊上的E處,展開如圖1.
[操作觀察]
(1)如圖2,作DF⊥AC,垂足為F,且DF=3,AC=6,S△ABC=21,則AB= ;
[理解應(yīng)用]
(2)①如圖3,設(shè)G為AC上一點(diǎn)(與A、C)不重合,P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PG、PC.試說明:PG+PC與EG大小關(guān)系;
②連接EC,若∠BAC=60°,G為AC中點(diǎn),且AC=6,求EC長(zhǎng).
[拓展延伸]
(3)請(qǐng)根據(jù)前面的解題經(jīng)驗(yàn),解決下面問題:
如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中有A(1,4),B(3,﹣2),點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn),連接AP、BP,當(dāng)AP﹣BP的值最大時(shí),請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出P點(diǎn)的位置,并直接寫出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,AP﹣BP的最大值為 .
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