【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c和直線y=x+1交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在直線x=3上,直線x=3與x軸交于點(diǎn)C
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).以PQ為邊作矩形PQNM,使點(diǎn)N在直線x=3上.
①當(dāng)t為何值時(shí),矩形PQNM的面積最。坎⑶蟪鲎钚∶娣e;
②直接寫(xiě)出當(dāng)t為何值時(shí),恰好有矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)①當(dāng)t=時(shí),面積最小是;②t=、或2.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;
(2)①分別用t表示PE、PQ、EQ,用△PQE∽△QNC表示NC及QN,列出矩形PQNM面積與t的函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題可解;
②由①利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)分別等于兩個(gè)端點(diǎn)橫縱坐標(biāo)平均分的數(shù)量關(guān)系,表示點(diǎn)M坐標(biāo),分別討論M、N、Q在拋物線上時(shí)的情況,并分別求出t值.
(1)由已知,B點(diǎn)橫坐標(biāo)為3,
∵A、B在y=x+1上,
∴A(﹣1,0),B(3,4),
把A(﹣1,0),B(3,4)代入y=﹣x2+bx+c得,
,解得:,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4;
(2)①如圖,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,
∵直線y=x+1與x軸夾角為45°,P點(diǎn)速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度,
∴t秒時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為(﹣1+t,0),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3﹣2t,0),
∴EQ=4﹣3t,PE=t,
∵∠PQE+∠NQC=90°,
∠PQE+∠EPQ=90°,
∴∠EPQ=∠NQC,
∴△PQE∽△QNC,
∴,
∴矩形PQNM的面積S=PQNQ=2PQ2,
∵PQ2=PE2+EQ2,
∴S=2()2=20t2﹣48t+32,
當(dāng)t=時(shí),
S最小=20×()2﹣48×+32=;
②由①點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3﹣2t,0),P(﹣1+t,t),C(3,0),
∴△PQE∽△QNC,可得NC=2QE=8﹣6t,
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,8﹣6t),
由矩形對(duì)邊平行且相等,P(﹣1+t,t),Q (3﹣2t,0),
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為(3t﹣1,8﹣5t)
當(dāng)M在拋物線上時(shí),則有
8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4,
解得t=,
當(dāng)點(diǎn)Q到A時(shí),Q在拋物線上,此時(shí)t=2,
當(dāng)N在拋物線上時(shí),8﹣6t=4,
∴t=,
綜上所述當(dāng)t=、或2時(shí),矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=x2+(m﹣3)x﹣m+2的圖象交x軸正半軸于點(diǎn)A,交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C.
(1)求m的取值范圍;
(2)若△ABC恰為等腰三角形,求m.
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【題目】在直線L上依次擺放著七個(gè)正方形,已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1、2、3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4 , 則S1+2S2+2S3+S4=()
A. 5 B. 4 C. 6 D. 10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線m:y=ax2+b(a<0,b>0)與x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線n,它的頂點(diǎn)為C1,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1.若四邊形AC1A1C為矩形,則a,b應(yīng)滿足的關(guān)系式為( 。
A. ab=﹣2 B. ab=﹣3 C. ab=﹣4 D. ab=﹣5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,平分,、分別是、上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),的度數(shù)為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x<0時(shí),點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(﹣x,y);當(dāng)x≥0時(shí),點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(﹣y,x).
(1)若點(diǎn)A(2,1)的變換點(diǎn)A′在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k= ;
(2)若點(diǎn)B(2,4)和它的變換點(diǎn)B'在直線y=ax+b上,則這條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 ,∠BOB′的大小是 度.
(3)點(diǎn)P在拋物線y=x2﹣2x﹣3的圖象上,以線段PP′為對(duì)角線作正方形PMP'N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)正方形PMP′N(xiāo)的對(duì)角線垂直于x軸時(shí),求m的取值范圍.
(4)拋物線y=(x﹣2)2+n與x軸交于點(diǎn)C,D(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),頂點(diǎn)為E,點(diǎn)P在該拋物線上.若點(diǎn)P的變換點(diǎn)P′在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,且四邊形ECP′D是菱形,求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,P是BC邊上一點(diǎn),將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′.
(1)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的三角形;
(2)連接PP′,若∠BAP=20°,求∠PP′C的度數(shù).
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【題目】在2016年泉州市初中體育中考中,隨意抽取某校5位同學(xué)一分鐘跳繩的次數(shù)分別為:158,160,154,158,170,則由這組數(shù)據(jù)得到的結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。
A. 平均數(shù)為160 B. 中位數(shù)為158 C. 眾數(shù)為158 D. 方差為20.3
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【題目】下列一元二次方程中,兩實(shí)根之和為1的是 ( )
A. x2—x+1=0 B. x2+x—3=0 C. 2 x2-x-1=0 D. x2-x-5=0
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