Question

【題目】四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)時(shí)，連接，若平分，證明：；

（2）如圖2，過點(diǎn)作且交的延長線于點(diǎn)，連接．若，，，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是菱形？若存在，請說明當(dāng)發(fā)，點(diǎn)分別在線段，上什么位置時(shí)四邊形是菱形，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，當(dāng)且時(shí)，四邊形是菱形，見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線定義得出∠AEB=∠ABE，證出AB=AE．即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)A作AH⊥DF于H，由直角三角形的性質(zhì)得出DH=AD=1，由勾股定理得出AH= ．在Rt△DEF中，∠EFD=30°，得出DF=2DE=1+，因此FH=DF-DH=，得出FH=AB．證出四邊形ABFH是平行四邊形．由AH=AB，即可得出結(jié)論．

（1）如圖（1），平行四邊形中，

∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴

∴．

又∵，

∴．

（2）存在．當(dāng)且時(shí)，四邊形是菱形．理由如下：

如圖，過點(diǎn)作于，

在平行四邊形中，，，

在中，，

∴

∴，

．

∴在中，，

∴，

∴，

∴．

又∵在平行四邊形中，，點(diǎn)在的延長線上，

∴，

∴四邊形是平行四邊形．

∵，

∴四邊形是菱形．