【題目】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)(概念理解)在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中,一定是垂美四邊形的是___________.
(2)(性質(zhì)探究)如圖2,試探索垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB,CD與BC ,AD之間的數(shù)量關(guān)系,寫出證明過程。
(3)(問題解決)如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外做正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE, 已知AC=,BC=1 求GE的長.
【答案】菱形、正方形
【解析】(1)根據(jù)垂美四邊形的定義進(jìn)行判斷即可;
(2)根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可;
(3)根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計(jì)算.
(1)菱形的對角線互相垂直,符合垂美四邊形的定義,
正方形的對角線互相垂直,符合垂美四邊形的定義,
而平行四邊形、矩形的對角線不一定垂直,不符合垂美四邊形的定義,
故答案為:菱形、正方形;
(2)猜想結(jié)論:AD2+BC2=AB2+CD2,證明如下:
如圖2,連接AC、BD,交點(diǎn)為E,則有AC⊥BD,
∵AC⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°,
由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)連接CG、BE,設(shè)AB與CE的交點(diǎn)為M
∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
又∵AG=AC,AB=AE,
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC,
又∠AEC+∠AME=90°,∠AME=∠BMC,
∴∠ABG+∠BMC=90°,即CE⊥BG,
∴四邊形CGEB是垂美四邊形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
∵AC=,BC=1 ∴AB=2,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
GE的長是.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求一次函數(shù)的解析式;
(3)點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA+PB最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】已知|a+3|與(b+1)2互為相反數(shù),a、b分別對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)A、B.
(1)求a、b的值.
(2)數(shù)軸上原點(diǎn)右側(cè)存在點(diǎn)C,設(shè)甲、乙、丙三個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),甲、乙向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),丙向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),甲、乙、丙運(yùn)動(dòng)速度分別為1、、2(單位長度每秒),若它們在數(shù)軸上某處相遇,請求出C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是多少?
(3)運(yùn)用(2)中所求C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù),若甲、乙、丙出發(fā)地及速度大小均不變,同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),問丙先追上誰?為什么?
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【題目】從﹣2,﹣1,0,1,2這5個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a,則使關(guān)于x的不等式組 有解,且使關(guān)于x的一元一次方程 +1= 的解為負(fù)數(shù)的概率為 .
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【題目】如圖,折疊矩形紙片的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,BC=10cm, AB=8cm, 則EC的長為_________.
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【題目】如圖,在□ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分線分別交AD于點(diǎn)E,F,BE,CF相交于點(diǎn)G.
(1)求證:BE⊥CF;
(2)若AB=a,CF=b,寫出求BE的長的思路.
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【題目】某體育場看臺(tái)的坡面AB與地面的夾角是37°,看臺(tái)最高點(diǎn)B到地面的垂直距離BC為3.6米,看臺(tái)正前方有一垂直于地面的旗桿DE,在B點(diǎn)用測角儀測得旗桿的最高點(diǎn)E的仰角為33°,已知測角儀BF的高度為1.6米,看臺(tái)最低點(diǎn)A與旗桿底端D之間的距離為16米(C,A,D在同一條直線上).
(1)求看臺(tái)最低點(diǎn)A到最高點(diǎn)B的坡面距離;
(2)一面紅旗掛在旗桿上,固定紅旗的上下兩個(gè)掛鉤G、H之間的距離為1.2米,下端掛鉤H與地面的距離為1米,要求用30秒的時(shí)間將紅旗升到旗桿的頂端,求紅旗升起的平均速度(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于與坐標(biāo)軸不平行的直線l和點(diǎn)P,給出如下定義:過點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,分別交直線l于點(diǎn)M,N,若PM+PN≤4,則稱P為直線l的近距點(diǎn),特別地,直線上l所有的點(diǎn)都是直線l的近距點(diǎn).已知點(diǎn)A(-,0),B(0,2),C(-2,2).
(1)當(dāng)直線l的表達(dá)式為y=x時(shí),
①在點(diǎn)A,B,C中,直線l的近距點(diǎn)是 ;
②若以OA為邊的矩形OAEF上所有的點(diǎn)都是直線l的近距點(diǎn),求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)n的取值范圍;
(2)當(dāng)直線l的表達(dá)式為y=kx時(shí),若點(diǎn)C是直線l的近距點(diǎn),直接寫出k的取值范圍.
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【題目】計(jì)算:
(1)-16-(-1+)÷3×[2-(-4)2]
(2)解方程:-=-1
(3)先化簡,再求值:2(x2-2xy)+[2y2-3(x2-2xy+y2)+x2],其中x=1,y=-.
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