Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖2，過點(diǎn)O，P的直線y=kx交AC于點(diǎn)E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，4），

又∵拋物線過A，C兩點(diǎn)，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為．

（2）

解：①如圖1

∵，

∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1．

∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，

∴PQ∥AO，PQ=AO=4．

∵P，Q都在拋物線上，

∴P，Q關(guān)于直線x=﹣1對稱，

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣3，

∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是；

②過P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，如圖2

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，

∴．

又∵，

∴，

設(shè)點(diǎn)F（x，x+4），

∴，

化簡得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．

當(dāng)x=﹣1時(shí)，；當(dāng)x=﹣3時(shí)，，

即P點(diǎn)坐標(biāo)是或．

又∵點(diǎn)P在直線y=kx上，

∴或．

【解析】（1）由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，把A和C的坐標(biāo)分別代入y=﹣x2+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；
（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對稱軸可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由（1）中的拋物線解析式，進(jìn)而可求出其縱坐標(biāo)，問題得解；
②過P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，因?yàn)镻F∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長，進(jìn)而可設(shè)點(diǎn)點(diǎn)F（x，x+4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入直線y=kx即可求出k的值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．