【題目】如圖, 是邊長為的等邊三角形,邊在射線上,且,點從點出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運動,當(dāng)D不與點A重合時,將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到,連接DE.
(1)如圖1,求證: 是等邊三角形;
(2)如圖2,當(dāng)6<t<10時,DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點D在射線OM上運動時,是否存在以D,E,B為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)存在, DE=2cm;(3)存在,當(dāng)t=2或14s時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
【解析】試題分析:
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合△ABC是等邊三角形可得∠DCB=60°,CD=CE,從而可得△CDE是等邊三角形;
(2)由(1)可知△CDE是等邊三角形,由此可得DE=CD,因此當(dāng)CD⊥AB時,CD最短,則DE最短,結(jié)合△ABC是等邊三角形,AC=4即可求得此時DE=CD=;
(3)由題意需分0≤t<6,6<t<10和t>10三種情況討論,①當(dāng)0≤t<6時,由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,由此可知:此時若△DBE是直角三角形,則∠BED=90°;②當(dāng)6<t<10s時,由性質(zhì)的性質(zhì)可知∠DBE=120°>90°,由此可知:此時△DBE不可能是直角三角形;③當(dāng)t>10s時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,結(jié)合∠CDE=60°可得∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC>60°,由此可得∠BED<60°,由此可知此時若△BDE是直角三角形,則只能是∠BDE=90°;這樣結(jié)合已知條件即可分情況求出對應(yīng)的t的值了.
試題解析:
(1)∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,
∴∠DCE=60°,DC=EC,
∴△CDE是等邊三角形;
(2)存在,當(dāng)6<t<10時,
由(1)知,△CDE是等邊三角形,
∴DE=CD,
由垂線段最短可知,當(dāng)CD⊥AB時,CD最小,
此時∠ADC=90°,又∵∠ACD=60°,
∴∠ACD=30°,
∴ AD=AC=2,
∴ CD=,
∴ DE=2(cm);
(3)存在,理由如下:
①當(dāng)0s≤t<6s時,由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE=60°,∠BDE<60°,
∴此時若△DBE是直角三角形,則∠BED=90°,
由(1)可知,△CDE是等邊三角形,
∴∠DEC=60°,
∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°,
∴∠CDA=∠CEB=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ACD=∠ADC=30°,
∴DA=CA=4,
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2,
∴t=2÷1=2(s);
②當(dāng)6s<t<10s時,由性質(zhì)的性質(zhì)可知∠DBE=120°>90°,
∴此時△DBE不可能是直角三角形;
③當(dāng)t>10s時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,
又由(1)知∠CDE=60°,
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,
而∠BDC>0°,
∴∠BDE>60°,
∴只能∠BDE=90°,
從而∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴OD=14cm,
∴t=14÷1=14(s);
綜上所述:當(dāng)t=2s或14s時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.
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【題目】在四邊形ABCD中,AB=CD,M、N分別是AD和BC的中點,延長BA和CD分別交射線NM于點E和點F,若tan∠F= , FC=FN,EN= , 則EF=
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【題目】老師在課堂上出了一個問題:若點A(﹣2,y1),B(1,y2)和C(4,y3)都在反比例函數(shù)y=的圖象上,比較y1 , y2 , y3的大小.
小明是這樣思考的:當(dāng)k<0時,反比例函數(shù)的圖象是y隨x的增大而增大的,并且﹣2<1<4,所以y1<y2<y3 .
你認為小明的思考 (填“正確”和“不正確”),理由是 .
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【題目】北京聯(lián)合張家口成功申辦2022年冬奧會后,滑雪運動已成為人們喜愛的娛樂健身項目.如圖是某滑雪場為初學(xué)者練習(xí)用的斜坡示意圖,出于安全因素考慮,決定將斜坡的傾角由45°降為30°,已知原斜坡坡面AB長為200米,點D,B,C在同一水平地面上,求改善后的斜坡坡角向前推進的距離BD.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,≈2.45)
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣1,t),B(3,t),與y軸交于點C(0,﹣1).一次函數(shù)y=x+n的圖象經(jīng)過拋物線的頂點D.
(1)求拋物線的表達式;
(2)求一次函數(shù)y=x+n的表達式;
(3)將直線l:y=mx+n繞其與y軸的交點E旋轉(zhuǎn),使當(dāng)﹣1≤x≤1時,直線l總位于拋物線的下方,請結(jié)合函數(shù)圖象,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,A、B是直線m上兩個定點,C是直線n上一個動點,且m∥n.以下說法:
①△ABC的周長不變;
②△ABC的面積不變;
③△ABC中,AB邊上的中線長不變.
④∠C的度數(shù)不變;
⑤點C到直線m的距離不變.
其中正確的有________(填序號).
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB、CD的中點,連接DE、BF、BD.
(1)求證:△ADE≌△CBF ;
(2)當(dāng)AD⊥BD時,請你判斷四邊形BFDE的形狀,并說明理由.
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【題目】奧林匹克公園觀光塔由五座高度不等、錯落有致的獨立塔組成.在綜合實踐活動課中,某小組的同學(xué)決定利用測角儀測量這五座塔中最高塔的高度(測角儀高度忽略不計).他們的操作方法如下:如圖,他們先在B處測得最高塔塔頂A的仰角為45°,然后向最高塔的塔基直行90米到達C處,再次測得最高塔塔頂A的仰角為58°.請幫助他們計算出最高塔的高度AD約為多少米.(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)
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【題目】圖①表示的是某綜合商場今年1~5月的商品各月銷售總額的情況,圖②表示的是商場服裝部各月銷售額占商場當(dāng)月銷售總額的百分比情況,觀察圖①、圖②,解答下列問題:
(1)來自商場財務(wù)部的數(shù)據(jù)報告表明,商場1~5月的商品銷售總額一共是410萬元,請你根據(jù)這一信息將圖①中的統(tǒng)計圖補充完整;
(2)商場服裝部5月份的銷售額是多少萬元?
(3)小剛觀察圖②后認為,5月份商場服裝部的銷售額比4月份減少了.你同意他的看法嗎?請說明理由.
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