【題目】如圖所示,點是線段的中點,,.
(1)如圖1,若,求證是等邊三角形;
(2)如圖1,在(1)的條件下,若點在射線上,點在點右側(cè),且是等邊三角形,的延長線交直線于點,求的長度;
(3)如圖2,在(1)的條件下,若點在線段上,是等邊三角形,且點沿著線段從點運動到點,點隨之運動,求點的運動路徑的長度.
【答案】(1)證明見解析;(2)18;(3)18.
【解析】
(1)利用垂直平分線的性質(zhì)可得BA=BC,再得,即可證明是等邊三角形;
(2)證明,得出,繼而得到,即可求得PC的長度;
(3)取BC的中點H,分兩種情況證明,得出或,可知點N的運動路徑是一條線段,據(jù)此求解即可.
解:(1)∵,,
,
是線段中點,,
,
是等邊三角形;
(2)∵、是等邊三角形,
∴,AB=BC,BD=BQ,,
∴,
∴,
,
,
,
,
,
;
(3)取BC的中點H,連接OH,連接CN,
分兩種情況討論:
當M在線段上時,如圖2,
∵H是BC的中點,,
∴,
∴是等邊三角形,
∵是等邊三角形,
∴,OM=ON, ,
∴,
∴,
點從起點到作直線運動,
∵當點M在點B時,CN=BH=9,
∴點M從B運動到H時,點N運動路徑的長度等于9;
當點M在線段上時,如圖3,
∵H是BC的中點,,
∴,
∴是等邊三角形,
∵是等邊三角形,
∴,OM=ON, ,
∴,
∴,
點從到終點作直線運動,
∵當點M在點C時,CN=CH=9,
∴點M從H運動到C時,點N運動路徑的長度等于9;
綜上所述,的路徑長度為:.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小迪同學(xué)在學(xué)勾股定理時發(fā)現(xiàn)一類特殊三角形:在一個三角形中,如果一個角是另一個角的2倍,那么稱這個三角形為“倍角三角形”.
如圖1,在倍角中,,、、的對邊分別記為,,,三角形的三邊,,有什么關(guān)系呢?讓我們一起來探索……
(1)已知“倍角三角形”的一個內(nèi)角為,則這個三角形的另兩個角的度數(shù)分別為______
(2)小迪同學(xué)先從特殊的“倍角三角形”入手研究,請你結(jié)合圖2和圖3填寫下表:
三角形 | 角的已知量 | ||
圖2 | ______ | ______ | |
圖3 | ______ |
小迪同學(xué)根據(jù)上表,提出一般性猜想:在“倍角三角形”中,,那么,,三邊滿足:______;
(3)如圖1:在倍角三角形中,,、、的對邊分別記為,,,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是等邊三角形,點、分別在、上,且,,、相交于點,連接,則下列結(jié)論:①;②;③;④,正確的結(jié)論有( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某校參加科普知識競賽的學(xué)生試卷中,抽取一個樣本了解競賽成績的分布情況,將樣本分成、、、、五個組,繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖,圖中、、、、各小組的長方形的高的比是,且組的頻數(shù)是,請結(jié)合直方圖提供的信息,解答下列問題.
通過計算說明,樣本數(shù)據(jù)中,中位數(shù)落在哪個組?并求該小組的頻率;
估計該校在這次競賽中,成績高于分的學(xué)生人數(shù)占參賽人數(shù)的百分比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在平面直角坐標系中A(3,2),B(4,3),C(1,1).
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱圖形△A1B1C1;
(2)寫出A1、B1、C1的坐標分別是A1(___,___),B1(___,___),C1(___,___);
(3)△ABC的面積是___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,,點,分別在,上,,,相交于點.若圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為,則的周長為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖甲,已知在⊙O中,AB=,AC是⊙O的直徑,AC⊥BD于F,∠A=30度.
(1)連接BC,CD,請你判定四邊形OBCD是何種特殊的四邊形?試說明理由;
(2)若用扇形OBD圍成一個圓錐側(cè)面,請求出這個圓錐的底面圓的半徑;
(3)如圖乙,若將“∠A=30°”改為“∠A=22.5°”,其余條件不變,以半徑OB、OD的中點M、N為頂點作矩形MNGH,頂點G、H在⊙O的劣弧上,GH交OC于點E.試求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
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