Question

如圖1，在△ABC中，AD為BC邊上的高，AE為∠BAC的平分線，已知∠B=20°，∠C=50°
（1）求∠EAD的度數(shù)；
（2）你發(fā)現(xiàn)∠EAD與∠B、∠C之間有何關系？
（3）若將“題中的條件∠B=20°”改為“∠B=100°”如圖2，其它條件不變，則∠EAD與∠B、∠C之間又有何關系？請說明理由．
（4）若將“題目中的條件∠B=20°，∠C=50°”改為“∠EAD=35°，∠BAC=50°”，其它條件不變，求∠B、∠C的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)三角形的內角和定理求得∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求得∠BAE，再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和求得∠AED，最后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解，
（2）根據(jù)（1）即可得出∠EAD與∠B、∠C之間的關系，
（3）根據(jù)三角形內角和定理、角平分線的性質、三角形外角的性質依次推理即可得出結論，
（4）根據(jù)（3）中結論及三角形內角和定理即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠B=20°，∠C=50°，
∴∠BAC=110°．
又AE是∠BAC的角平分線，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=55°，
∴∠AED=75°，
又AD是BC邊上的高，
∴∠EAD=15°，

（2）由圖知，∠DAE=∠BAE-∠CAD=

1

2

∠BAC-∠CAD
=

1

2

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）
=90°-

1

2

∠B-

1

2

∠C-90°+∠C
=

1

2

（∠C-∠B），

（3）由圖知：∠EAD=∠BAE+∠BAD=

1

2

∠BAC+∠BAD
=

1

2

（180°-∠ABC-∠C）+（∠ABC-90°）
=90°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠C+∠ABC-90°
=

1

2

（∠ABC-∠C），

（4）根據(jù)（3）得：∠EAD=

1

2

（∠B-∠C）=35°，
根據(jù)三角形內角和定理得：∠B+∠C=130°，
解得：∠B=100°，∠C=30°．

點評：本題主要考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義、三角形外角性質及三角形的高的定義，解答的關鍵是找到已知角和所求角之間的聯(lián)系，難度適中．