Question

如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
（1）求證：∠AOC=90°+

1

2

∠ABC；
（2）當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，且AO=3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=

1

2

∠BAC，∠OCA=

1

2

∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
（2）在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，證△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MK=ML，根據(jù)S_△AOM=

1

2

AO×MK，S_△MON=

1

2

ON×ML求出

AO

ON

=

AM

MN

，求出

AO

ON

=

AM

MN

=

3

1

，推出AN=

4

3

AM=

4

3

AE即可．

解答：（1）證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．
∴∠OAC=

1

2

∠BAC，∠OCA=

1

2

∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=

1

2

（∠BAC+∠BCA）=

1

2

（180°-∠ABC）=90°-

1

2

∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-

1

2

∠ABC），
即∠AOC=90°+

1

2

∠ABC．

（2）

4

3

AE+CD=AC，
證明：∵∠AOC=90°+

1

2

∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，
則在△AEO和△AMO中

AE=AM ∠EAO=∠MAO AO=AO

∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
過(guò)M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S_△AOM=

1

2

AO×MK，S_△MON=

1

2

ON×ML，
∴

AO

ON

=

S△AOM

S△MON

，
∵

S△AOM

S△MON

=

AM

MN

，
∴

AO

ON

=

AM

MN

，
∵AO=3OD，
∴

AO

OD

=

3

1

，
∴

AO

ON

=

AM

MN

=

3

1

，
∴AN=

4

3

AM=

4

3

AE，
∵AN+NC=AC，
∴

4

3

AE+CD=AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義和性質(zhì)，三角形的面積，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．