【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=5,過點(diǎn)A、B作⊙O,交AD,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),連接BE,CE,過點(diǎn)F作FG⊥CE,垂足為G.

(1)當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí),求證:直線FG與⊙O相切;
(2)若FG∥BE時(shí),求AE的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:連接OF,

∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),

∴BF=CF,

在矩形ABCD中,∵∠A=90°,

∴BE是⊙O的直徑,

∴BO=OE,

∴OF∥CE,

∵FG⊥CE,

∴OF⊥FG,

∴直線FG與⊙O相切


(2)解:∵FG∥BE,F(xiàn)G⊥CE,

∴BE⊥CE,

∴∠AEB+∠DEC=90°,

∵∠ABE+∠AEB=90°,

∴∠ABE=∠DEC,

∵∠A=∠D=90°,

∴△ABE∽△CDE,

,

∵AB=2,AD=5,

∴CD=AB=2,

,

∴AE=1,或AE=4.


【解析】(1)連接OF,由點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),得BF=CF,在矩形ABCD中,∵∠A=90°,得BE是⊙O的直徑,求得BO=OE,根據(jù)三角形得中位線得OF∥CE,證得OF⊥FG即可;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BE⊥CE,由余角的性質(zhì)得到∠ABE=∠DEC證得△ABE∽△CDE,根據(jù)相似三角形得性質(zhì)就可求出答案。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平行線的性質(zhì)和三角形中位線定理,需要了解兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿ADCBA勻速運(yùn)動(dòng)一周.設(shè)點(diǎn)P走過的路程為x,ADP的面積為y,則下列圖象能大致反映yx的函數(shù)關(guān)系的是( 。

A.B.

C.D.

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A.B.C.D.

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景點(diǎn)

頻數(shù)

頻率

東江湖

莽山

飛天山

蘇仙嶺

萬(wàn)華巖

此次共調(diào)查了多少人?

請(qǐng)將以上圖表補(bǔ)充完整.

該旅行社預(yù)計(jì)6月份接待外地來郴的游客人,請(qǐng)你估計(jì)首選去東江湖的人數(shù)約有多少人.

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為了加強(qiáng)學(xué)生課外閱讀,開闊視野,某校開展了書香校園,從我做起的主題活動(dòng).學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,對(duì)他們一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,繪制出頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖的一部分如下:

請(qǐng)根據(jù)圖表信息回答下列問題:

(1)頻數(shù)分布表中的 ;

(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

(3)學(xué)校將每周課外閱讀時(shí)間在小時(shí)以上的學(xué)生評(píng)為閱讀之星,請(qǐng)你估計(jì)該校名學(xué)生中評(píng)為閱讀之星的有多少人?

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1)連接線段OB、OD、BD,求OBD的面積;

2)若長(zhǎng)方形ABCD在第一象限內(nèi)以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下平移,經(jīng)過多少秒時(shí),OBD的面積與長(zhǎng)方形ABCD的面積相等請(qǐng)直接寫出答案;

3)見備用圖,連接 OB,ODODBC于點(diǎn)E,∠BON的平分線和∠BEO的平分線交于點(diǎn)F

①當(dāng)∠BEO的度數(shù)為n,∠BON的度數(shù)為m時(shí),求∠OFE的度數(shù).

②請(qǐng)直接寫出∠OFE和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系.

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