Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE=30°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°，

∴∠ABD=∠ADE=30°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

（2）

解：如圖1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

過A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB=90°，

∵AB=2，∠ABF=30°，

∴AF= AB=1，

∴BF= ，

∴BC=2BF=2 ，

則DC=2 ﹣x，EC=2﹣y，

∵△ABD∽△DCE，

∴ ，

∴ ，

化簡得：y= x+2（0＜x＜2 ）；

（3）

解：當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖2，

由（1）可知：此時(shí)△ABD∽△DCE，

則AB=CD，即2=2 ﹣x，

x=2 ﹣2，代入y= x+2，

解得：y=4﹣2 ，即AE=4﹣2 ，

當(dāng)AE=ED時(shí)，如圖3，

∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，

∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，

則ED= EC，即y= （2﹣y），

解得：y= ，即AE= ，

當(dāng)AD=AE時(shí)，

∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，

此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，此情況不存在，

∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，AE=4﹣2 或 ．

【解析】（1）根據(jù)兩角相等證明：△ABD∽△DCE；（2）如圖1，作高AF，根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求AF的長，根據(jù)勾股定理求BF的長，則可得BC的長，根據(jù)（1）中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式，并確定取值；（3）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖2，由（1）可知：此時(shí)△ABD∽△DCE，則AB=CD，即2=2 ﹣x；②當(dāng)AE=ED時(shí)，如圖3，則ED= EC，即y= （2﹣y）；③當(dāng)AD=AE時(shí)，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，此情況不存在．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)關(guān)系式和等腰三角形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）．