Question

【題目】如圖1，有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接PC，交MN于點(diǎn)Q，連接CM．

（1）求證：四邊形CMPN是菱形；

（2）當(dāng)P，A重合時(shí)，如圖2，求MN的長(zhǎng)；

（3）設(shè)△PQM的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先利用矩形的性質(zhì)得出PM∥CN，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出PM＝CN，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形CMPN是平行四邊形，再根據(jù)NC＝NP即可證明結(jié)論；

（2）設(shè)BN＝x，則AN＝NC＝8－x，首先利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而求出NC的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，最后利用菱形的面積公式求解即可；

（3）根據(jù)菱形的對(duì)稱(chēng)性可知S＝，只要找到菱形CMPN的面積的最大值和最小值即可，又因?yàn)?/span>S菱形CMPN＝CN·AB，所以只需找到CN的最大值和最小值即可，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)CN最短，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CN最長(zhǎng)，代入計(jì)算即可得出答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC．

由折疊的性質(zhì)可知∠MNC＝∠PNM，NC＝NP，

∴∠PMN＝∠PNM．

∴PM＝PN．

∵NC＝NP，

∴PM＝CN．

∵MP∥CN，

∴四邊形CMPN是平行四邊形．

∵NC＝NP，

∴四邊形CMPN是菱形．

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BN＝x，則AN＝NC＝8－x．

在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，

即42＋x2＝（8－x）2，解得x＝3．

∴CN＝8－3＝5．

∵四邊形CMPN是菱形，AC＝，

∴MN＝．

（3）∵四邊形CMPN是菱形，

∴S＝

∵S菱形CMPN＝CN·AB，

∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖，此時(shí)CN最短，菱形CMPN的面積最小，

∵，四邊形CMPN是菱形，

∴四邊形CMPN是正方形，

則S最�。�；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CN最長(zhǎng)，菱形CMPN的面積最大，

則S最大＝×5×4＝5．

∴S的取值范圍是．