Question

2、如圖所示，有一個正方體形的鐵絲架，把它的側(cè)棱中點I、J、K、L也用鐵絲連上．
（1）現(xiàn)在一個螞蟻想沿著鐵絲從A點爬到G點，問最近的路線一共有幾條？并用字母把這些路線表示出來（用所經(jīng)過的連接點字母表示，譬如螞蟻從A點出發(fā)，經(jīng)過I點L點，最后到達H點，這樣的路線用AILH表示）．
（2）螞蟻是否可能從A點出發(fā)，沿著鐵絲經(jīng)過每一個連接點恰好一次，最后到達G點？如果可能，請找出一條這樣的路線；如果不可能，說明為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)乘法原理來解題，從A點到G做到不重不漏，首先確定與A點相連的節(jié)點，與G點相連的節(jié)點，再向外擴展找對應(yīng)點．
（2）用反證法來證明不可能．假設(shè)可能，將所有連接點染上黑、白兩色，凡與黑點相鄰的都是白點，凡與白點相鄰的都是黑點．再通過黑白點的奇偶性來進一步驗證，與假設(shè)矛盾．

解答：解：（1）一共有12條：ABCKG、ABJKG、ABJFG、ADCKG、ADLKG、ADLHG、AIJKG、AIJFG、AILKG、AILHG、AIEFG、AIEHG； 
（2）不可能．
用反證法證明．假設(shè)可能，那么將所有連接點染上黑、白兩色，凡與黑點相鄰的都是白點，凡與白點相鄰的都是黑點．
若A是白點，則黑白點的分布如下表：
 
由于A與G都是白點，所以螞蟻從A點出發(fā)，依次經(jīng)過其它各點，到達G點的路線應(yīng)為白→黑→白→黑→…→黑→白．其中有奇數(shù)個白點，這與圖中共有偶數(shù)個白點相矛盾．
∴螞蟻不可能從A點出發(fā)沿著鐵絲經(jīng)過每一個連接點恰好一次，最后到達G點．

點評：本題考查加法原理與乘法原理．注意螞蟻行走順序，做到不重不漏，本題實際上運用了排列組合中的乘法原理．