Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)，正方形OBDE的頂點(diǎn)E在x軸的正半軸上，連接CO，CD，CE．

（1）線段OC的長(zhǎng)為；
（2）求證：△CBD≌△COE；
（3）將正方形OBDE沿x軸正方向平移得到正方形O1B1D1E1 ， 其中點(diǎn)O，B，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)O1 ， B1 ， D1 ， E1 ， 連接CD，CE，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面積為S．
①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與a之間的函數(shù)表達(dá)式；
②在平移過(guò)程中，當(dāng)S= 時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

證明：∵∠AOB=90°，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，

∴OC=BC= AB，

∴∠CBO=∠COB，

∵四邊形OBDE是正方形，

∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，

∴∠CBD=∠COE，

在△CBD和△COE中，

，

∴△CBD≌△COE（SAS）

（3）

解：①解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥D1E1于點(diǎn)H，

∵C是AB邊的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2， ）

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，0），1＜a＜2，

∴CH=2﹣a，

∴S= D1E1CH= ×1×（2﹣a）=﹣ a+1；

②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，S=﹣ a+1= ，

解得：a= ；

當(dāng)a＞2時(shí)，同理：CH=a﹣2，

∴S= D1E1CH= ×1×（a﹣2）= a﹣1，

∴S= a﹣1= ，

解得：a= ，

綜上可得：當(dāng)S= 時(shí)，a= 或 ．

【解析】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），
∴OA=4，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB= = ，
∵點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)，
∴OC= AB= ；故答案為： ．
（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，然后由點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得線段OC的長(zhǎng)；（2）由四邊形OBDE是正方形，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可證得：△CBD≌△COE；（3）①首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后過(guò)點(diǎn)C作CH⊥D1E1于點(diǎn)H，可求得△CD1E1的高與底，繼而求得答案；
②分別從1＜a＜2與a＞2去分析求解即可求得答案． 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積問(wèn)題．注意掌握輔助線的作法，注意掌握分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．