【題目】如圖 1,已知拋物線 L1:y=﹣x2+2x+3 x 軸交于 A,B 兩點A在點 B 的左側(cè),與 y 軸交于點 C,在 L1 上任取一點 P,過點 P 作直線 l⊥x 軸, 垂足為D,將 L1 沿直線 l 翻折得到拋物線L2,交 x 軸于點 M,N(M 在點 N 的左側(cè)).

(1)L1 L2 重合時,求點 P 的坐標;

(2)當點 P 與點 B 重合時,求此時 L2 的解析式;并直接寫出 L1 與 L2 中,y 均隨x 的增大而減小時的 x 的取值范圍;

(3)連接 PM,PB,設(shè)點 P(m,n),當 n=m 時,求△PMB 的面積.

【答案】(1) P(1,4);(2) y=﹣x2+10x﹣21;x≥5 ;(3) 或 3.

【解析】

(1)當點 P 為拋物線 L1 的頂點時,拋物線 L1 L2 重合,把y=﹣x2+2x+3變形為頂點式即可得P點坐標;(2)令 y=0,可求出P點坐標,可知L1 L2的對稱軸,進而可得L2的頂點坐標,即可求出L2的解析式;根據(jù)圖像可得L1 L2 中,y 均隨x 的增大而減小時的 x 的取值范圍;(3)P(m,)代入L1解析式可求出m的值

,根據(jù)三角形面積公式求出SPNB的值即可.

(1)由拋物線對稱性,當點 P 為拋物線 L1 的頂點時,拋物線 L1 L2 重合

y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4

∴點 P(1,4);

(2)在拋物線 L1 中,令 y=0,即﹣x2+2x+3=0

解得 x1=﹣1,x2=3

當點 P 與點 B 重合時,此時 P(3,0)

∴拋物線 L2 與拋物線 L1 關(guān)于直線 x=3 對稱

∴拋物線 L2 的頂點為(5,4)

∵由拋物線對稱性可知,拋物線 L1 L2 開口方向和大小相同.

∴拋物線 L2 和的解析式為 y=﹣(x﹣5)2+4=﹣x2+10x﹣21

∴結(jié)合圖象可知,當 x≥5 時,拋物線 L1 與拋物線L2 中,y 均隨 x 的增大而減小

(3) n=時,﹣m2+2m+3=

解得 m1=﹣,m2=2,

∴點 P 坐標為(﹣,﹣)或(2,3)

①如圖1,

當點 P 坐標為(﹣,﹣)時,點 D 的坐標為坐標為(﹣,0)

DB=3﹣(﹣)=

MB=2BD=2×=9

SPMB==

②如圖 2,

當點 P 坐標為(2,3)時,點 D 的坐標為坐標為(2,0)

DB=3﹣2=1

MB=2BD=2

SPMB==3

綜上所述當點P(m,n),n=時,△PMB 的面積為 3.

練習冊系列答案
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