Question

如圖，已知直線y=kx+2經(jīng)過點P（1，

5

2

），與x軸相交于點A；拋物線y=ax²+bx（a＞0）經(jīng)過點A和點P，頂點為M．
（1）求直線y=kx+2的表達式；
（2）求拋物線y=ax²+bx的表達式；
（3）設此直線與y軸相交于點B，直線BM與x軸相交于點C，點D的坐標為（

8

3

，0），試判斷△ACB與△ABD是否相似，并說明理由．

Answer 1

（1）將點P（1，

5

2

）代入直線y=kx+2中，得：
k+2=

5

2

，k=

1

2

；
∴直線AB的解析式：y=

1

2

x+2．

（2）由直線AB的解析式知：A（-4，0）、B（0，2）．
將點A（-4，0）、P（1，

5

2

）代入y=ax²+bx（a＞0）中，得：

16a-4b=0 a+b= 5 2

，解得

a= 1 2 b=2

∴拋物線的解析式：y=

1

2

x²+2x．

（3）由（2）的拋物線知：點M（-2，-2）；
由于直線BM經(jīng)過點B（0，2），設該直線的解析式：y=mx+2，有：
-2m+2=-2，m=2
即直線BM：y=2x+2，得點C（-1，0）．
由A（-4，0）、B（0，2）得：AB²=OA²+OB²=20；
由C（-1，0）、D（

8

3

，0），得：AC•AD=（4-1）×（4+

8

3

）=20；
∴AB²=AC•AD
又∠BAC=∠DAB，
∴△ACB∽△ABD．